结论：一星期内不签试用期合同是否合法，需分情况讨论。若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，则不合法；若在一个月内未签订，则不直接构成违法，但用人单位仍需承担未及时签订合同的风险。以下为详细分析：

一、法律规定背景

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”这一条款明确了用人单位与劳动者建立劳动关系后，签订书面劳动合同的时间限制。

二、一星期内不签试用期合同的合法性分析

1. 若在一个月内未签订：

   • 根据上述法律规定，用人单位在用工之日起一个月内未与劳动者签订书面劳动合同，并不直接构成违法。但用人单位需要意识到，未及时签订合同可能带来一定的法律风险，如劳动者可能主张双倍工资等。
   • 建议：尽管在一个月内未签订合同不直接违法，但用人单位应尽快与劳动者签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免潜在的法律纠纷。

2. 若超过一个月未签订：

   • 如果用人单位自用工之日起超过一个月仍未与劳动者签订书面劳动合同，则根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这意味着，用人单位将面临支付双倍工资的法律责任。
   • 示例：假设劳动者于1月1日入职，但用人单位直至2月15日仍未与其签订书面劳动合同。那么，从2月1日起至2月15日（假设此期间未满一个月，但实际计算应至满一个月之日，即2月1日-2月28日中的未签合同天数，此处为简化说明），用人单位需向劳动者支付双倍工资。若直至3月1日仍未签订，则从2月1日起至3月1日（实际应计算至满一年或签订合同之日止）的期间内，用人单位均需支付双倍工资。
   • 建议：用人单位应严格遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，以避免支付双倍工资的法律责任。

三、试用期合同的特殊性

• 试用期合同并非独立于劳动合同之外的合同类型。实际上，试用期应包含在劳动合同期限内。因此，当讨论试用期合同的签订问题时，实际上是在讨论劳动合同的签订问题。
• 建议：用人单位在与劳动者约定试用期时，应同时签订书面劳动合同，并在合同中明确试用期的期限、工资待遇等条款。

四、法律后果与风险防范

• 法律后果：用人单位未及时与劳动者签订书面劳动合同的，可能面临支付双倍工资、被劳动行政部门责令改正等法律后果。
• 风险防范：为避免潜在的法律纠纷和损失，用人单位应建立健全的劳动合同管理制度，确保在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同。同时，用人单位还应加强对劳动法律法规的学习和培训，提高法律意识和管理水平。

总结来说，一星期内不签试用期合同是否合法取决于是否超过了一个月的时间限制。若未超过，则不直接构成违法；但若超过，则用人单位将面临支付双倍工资的法律责任。因此，建议用人单位及时与劳动者签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免潜在的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。