当行政处罚决定超过执行期限时，其执行方式及后果需根据具体情况和相关法律法规来细致分析。以下是对此问题的详细解答：

一、当事人方面的责任与后果

1. 继续履行义务： 行政处罚决定一旦正式作出，即具备法律效力。无论是否超过执行期限，当事人都有义务按照决定内容履行。这是基于行政处罚决定的确定力和执行力原则，确保行政决定的权威性和有效性。

2. 可能面临的法律后果：

   • 加处罚款或滞纳金：根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，若当事人到期不缴纳罚款，行政机关有权每日按罚款数额的特定比例（如百分之三）加处罚款，但加处罚款的总额不得超过原罚款金额。这一措施旨在通过经济手段督促当事人尽快履行处罚决定。
   • 强制执行措施：若当事人在规定期限内既不申请行政复议或提起行政诉讼，又不履行行政决定，行政机关有权采取多种强制执行措施。这些措施可能包括冻结银行账户、查封财产等，甚至在极端情况下，当事人可能因拒不执行而被追究刑事责任。

3. 特殊情况下的处理： 若因不可抗力（如自然灾害、战争等）或其他正当理由（如突发疾病、意外事件等）导致当事人无法按时履行处罚决定，当事人应及时向行政机关说明情况，并申请延期履行。行政机关在核实情况后，可能会根据实际情况给予一定的宽限期。

二、行政机关方面的职责与风险

1. 怠于履行职责的风险： 行政机关若未能在规定的申请执行期限内申请人民法院强制执行，可能会被认定为怠于履行职责。这种情况下，当事人有权以行政不作为为由提起行政诉讼，要求行政机关承担相应的法律责任。

2. 特殊情况下的申请延长： 在存在正当理由（如内部审批流程延误、不可抗力等）未能按期申请强制执行的情况下，行政机关可以向人民法院说明情况，并申请延长申请期限。然而，这一申请的批准与否将由人民法院根据具体情况进行判断，行政机关需提供充分的证据和理由来支持其申请。

3. 确保处罚决定的合法性： 行政机关在作出行政处罚决定时，应确保程序合法、适用法律正确。若处罚决定本身存在问题（如程序违法、适用法律错误等），当事人有权通过申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。在这种情况下，即使处罚决定超过执行期限，也可能因合法性问题而被撤销或变更。

三、综合建议

• 当事人方面：若面临行政处罚决定超过执行期限的情况，当事人应首先评估自身是否具备履行义务的能力。若有能力履行，应尽快履行以避免加处罚款或强制执行等不利后果；若因特殊原因无法履行，应及时向行政机关说明情况并申请延期。
• 行政机关方面：行政机关应加强对行政处罚决定执行情况的监督和管理，确保在规定期限内申请人民法院强制执行。同时，应提高行政处罚决定的合法性和合理性，减少因处罚决定本身存在问题而引发的争议和诉讼。

总之，当行政处罚决定超过执行期限时，当事人和行政机关都应积极采取措施来应对可能出现的法律后果。若涉及复杂情况或争议，建议及时咨询专业法律人士以维护自身权益。