当行政机关作出的行政处罚决定经过行政诉讼，且最终判决维持原处罚决定，而行政相对人仍未履行该处罚决定时，行政机关有权依法向人民法院申请强制执行。以下是详细的申请流程及相关要点：
一、申请前的准备与确认
确认处罚决定生效：
- 确保行政处罚决定已经发生法律效力，即行政诉讼的判决已经生效，且行政相对人在规定的期限内未履行处罚决定。
完成催告程序：
- 在申请法院强制执行前，行政机关需向行政相对人发出书面催告书，明确告知其履行义务的期限、方式，以及不履行的法律后果。
- 催告书应载明行政相对人享有的陈述权和申辩权，并给予其合理的陈述和申辩期限。
- 催告书送达十日后，若行政相对人仍未履行义务，行政机关方可申请强制执行。
二、申请材料的准备
强制执行申请书：
- 应详细写明申请执行的事项、理由，以及行政机关的基本信息和联系方式。
- 申请书需由行政机关负责人签名并加盖行政机关印章，注明申请日期。
行政处罚决定书及相关证据：
- 提供行政处罚决定书的原件或经核对无误的复印件。
- 附上作出行政处罚决定的事实、理由和法律依据，以及相关证据材料。
当事人的意见及催告情况记录：
- 记录行政相对人在收到行政处罚决定书后的反应，包括是否提出异议、陈述和申辩的内容等。
- 提供催告书的送达回证或相关证明，证明催告程序已经完成。
申请强制执行标的情况说明：
- 详细列明需要强制执行的具体内容，如罚款金额、没收违法所得的具体数额、责令停产停业的期限等。
其他必要材料：
- 根据具体法律法规的要求，可能还需要提供其他相关材料，如行政相对人的身份证明、行政机关的执法证件等。
三、申请流程
提交申请：
- 行政机关应在行政相对人的法定起诉期限届满之日起三个月内（特殊情况除外），将准备好的申请材料提交给有管辖权的人民法院。
- 提交申请时，应按照被执行人人数提供申请材料的副本。
法院受理：
- 人民法院在收到行政机关的强制执行申请后，会在五日内决定是否受理。
- 如不予受理，行政机关可在十五日内向上一级人民法院申请复议。
审查与裁定：
- 人民法院会对行政机关的申请进行实质审查，包括对行政处罚决定的合法性、合理性以及可执行性等方面进行审查。
- 审查过程中，法院可能会听取行政相对人和行政机关的意见。
- 经审查符合条件的，人民法院会在三十日内作出准予执行的裁定；不符合条件的，则会作出不予执行的裁定，并说明理由。
强制执行：
- 在获得人民法院的准予执行裁定后，行政机关可以依照裁定内容，配合人民法院采取相应的强制措施。
- 强制措施可能包括划拨存款、汇款，拍卖或者依法处理查封、扣押的场所、设施或者财物等。
四、注意事项
遵守法定程序：
- 行政机关在申请法院强制执行时，必须严格遵守法定的程序和时限要求，确保申请的合法性和有效性。
保障当事人权益：
- 在申请强制执行过程中，行政机关应充分保障行政相对人的合法权益，如告知其申请强制执行的理由和依据、听取其陈述和申辩等。
加强沟通与协调：
- 行政机关应与人民法院保持密切沟通与协调，及时提供必要的协助和支持，确保强制执行工作的顺利进行。
通过上述流程，行政机关可以依法有序地申请人民法院强制执行行政处罚决定，确保行政执法的权威性和有效性。同时，也保障了行政相对人的合法权益，确保了法律程序的公正与透明。