当行政处罚案件超过了申请强制执行的时效时，行政机关确实会面临一些挑战，但仍有多种途径可以尝试解决问题。以下是一个详细且有条理的解决方案：

一、明确法律后果

首先，需要明确的是，根据《中华人民共和国行政强制法》第五十三条，如果行政机关在法定期限内（通常是自期限届满之日起三个月内）未申请人民法院强制执行，那么将丧失通过法院强制执行的权利。这意味着，行政相对人可能会以时效抗辩为由拒绝履行义务，导致行政决定难以直接执行。

二、审查超期原因并尝试恢复期限

1. 分析超期原因：行政机关应首先审查超期的原因，包括是否存在不可抗力（如自然灾害）或其他正当理由。
2. 申请延长期限：如果因正当理由导致超期，行政机关可以在障碍消除后十日内向法院申请延长期限，由法院决定是否准许。

三、与当事人协商解决

1. 沟通协商：即使超出申请强制执行期限，行政机关仍应与当事人进行沟通协商，说明行政处理决定的合法性和严肃性。
2. 制定分期履行计划：在当事人经济困难等情况下，可以协商制定合理的分期履行计划，以保障行政决定的有效执行。

四、重新审查行政决定的合法性及可执行性

1. 合法性审查：行政机关需要重新审查行政处理决定是否合法、合理且具有可执行性。
2. 补正或重新作出决定：如果发现行政决定存在瑕疵，应通过法定程序进行补正或重新作出决定。

五、考虑其他监管措施或重新作出决定

1. 加强监管：如果行政决定无误但超出申请强制执行期限，行政机关可以采取其他监管措施，如加强日常监管、增加检查频次、限制相关经营活动等，以督促当事人履行义务。
2. 信用惩戒：将当事人的违法信息纳入信用管理体系，通过信用惩戒促使其主动履行。
3. 重新作出决定：在特定情况下，行政机关也可以考虑重新作出行政处理决定，并在新决定中明确执行方式和期限。

六、咨询专业法律顾问或律师

在处理此类复杂问题时，行政机关如果遇到困难或不确定之处，应及时咨询专业的法律顾问或律师。这能确保行政行为的合法性和有效性，避免潜在的法律风险。

七、后续建议

1. 强化时效意识：行政机关应建立台账管理系统，对行政决定执行情况进行动态跟踪，避免因疏忽导致时效过期。
2. 完善内部监督机制：定期审查案件执行情况，设置临近时效预警机制，及时采取法律行动。
3. 加强法治培训：提升执法人员对新修订法律法规的掌握程度，确保执法程序规范严谨。

综上所述，当行政处罚案件超过申请强制执行的时效时，行政机关应综合考虑多种因素，采取合适的措施来解决问题。这既包括尝试恢复期限、与当事人协商解决，也包括重新审查行政决定的合法性及可执行性，并考虑采取其他监管措施或重新作出决定。在任何情况下，确保行政行为的合法性和有效性都是至关重要的。