公司是有权与老员工终止劳动合同的，但具体情形和条件需依据相关法律法规来确定。以下从不同角度为你详细分析：
一、劳动合同终止的法定情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同可以在以下情形下终止：
劳动合同期满：如果劳动合同中约定了具体的期限，当期限届满时，劳动合同自然终止。此时，公司有权选择是否与老员工续签劳动合同。
员工开始依法享受基本养老保险待遇：当老员工达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇时，劳动合同终止。这是法律对员工权益的一种保护，也是劳动合同终止的法定情形之一。
员工死亡，或者被人民法院宣告死亡或者宣告失踪：在这些情况下，劳动合同因员工主体资格的消灭而终止。
公司被依法宣告破产：如果公司因经营不善等原因被依法宣告破产，那么与所有员工的劳动合同都将终止。
公司被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者公司决定提前解散：在这些情况下，公司的经营资格被取消或公司决定提前解散，劳动合同也将随之终止。
二、公司单方面终止劳动合同的注意事项
除了上述法定情形外，公司如果想要单方面与老员工终止劳动合同，还需要特别注意以下几点：
合法性：公司必须确保终止劳动合同的行为符合法律法规的规定，否则可能面临法律责任。例如，公司不能因为员工年龄较大或工龄较长就随意终止劳动合同，这可能构成违法解除。
程序性：公司在终止劳动合同时，需要遵循一定的程序。例如，提前通知员工、与员工进行协商、支付经济补偿等。如果公司未按照法定程序操作，也可能面临法律风险。
经济补偿：在大多数情况下，公司终止劳动合同需要向员工支付经济补偿。经济补偿的金额通常根据员工在公司的工作年限、工资水平等因素来确定。公司需要确保经济补偿的支付符合法律法规的规定，以避免纠纷。
三、老员工的特殊保护
对于老员工（即在公司工作年限较长的员工），法律在一定程度上给予了特殊保护。例如，在计算经济补偿时，老员工的工作年限通常会被给予更高的权重。此外，如果公司违法解除与老员工的劳动合同，老员工可能有权要求更高的赔偿。
四、建议与提醒
对于公司：在终止与老员工的劳动合同时，务必确保行为的合法性和程序性，避免不必要的法律风险。同时，也要充分考虑老员工的贡献和权益，给予合理的经济补偿和安置。
对于老员工：如果公司提出终止劳动合同，你有权了解终止的原因和依据，并要求公司按照法律法规的规定支付经济补偿。如果认为公司的行为违法或不合理，你可以通过法律途径维护自己的权益。
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