保险公司行使代位求偿权后，肇事方付款的，保险公司一般不需要向肇事方开具发票。以下是具体分析：

1. 代位求偿权的法律性质
   根据《保险法》第六十条，代位求偿权是保险公司因第三者（肇事方）造成保险事故而向被保险人赔偿后，依法取得的在赔偿金额范围内代位行使被保险人对第三者请求赔偿的权利。其本质是债权转移，即被保险人对肇事方的赔偿请求权转移至保险公司。

2. 发票开具的义务主体
   发票是交易双方在销售商品、提供服务或从事其他经营活动中，收取款项的凭证。在代位求偿场景中：

   • 肇事方与被保险人：若事故发生时，肇事方需向被保险人赔偿，此时被保险人若为经营主体（如企业），可能需向肇事方开具发票（如维修费发票）。
     
   • 肇事方与保险公司：保险公司行使代位求偿权后，肇事方直接向保险公司支付赔偿款。但保险公司并非销售商品或提供服务的主体，其收取款项是基于法律赋予的债权，而非经营行为，因此无义务开具发票。

3. 税务处理与实务操作

   • 肇事方：若肇事方为个人，通常无需发票即可支付赔偿款；若为企业，可能需以其他凭证（如法院判决书、赔偿协议、保险公司收据等）入账，具体需结合企业财务制度及税务机关要求。
     
   • 保险公司：收到赔偿款后，会向被保险人出具理赔凭证（如赔款计算书、权益转让书等），证明赔偿款已支付，但不会向肇事方开具发票。

4. 例外情形
   若肇事方与保险公司约定以“服务购买”形式处理赔偿（如保险公司委托第三方维修车辆，肇事方直接支付维修费给第三方），则第三方可能需向肇事方开具发票。但此情形已超出代位求偿权的直接法律关系，需另行签订合同明确权利义务。

建议：若肇事方坚持要求发票，可协商以其他凭证（如法院文书、赔偿协议、保险公司收据）替代，或通过法律途径明确权利义务。如有进一步疑问，可直接向我咨询。