结论：老公公留下的遗产，在两个儿子都不在的情况下，可以留给其他法定继承人，如配偶、父母（如果还在世）、兄弟姐妹、祖父母、外祖父母，或者按照遗嘱指定的人继承。若没有遗嘱且上述法定继承人均不存在或放弃继承，遗产可能归国家所有，用于公益事业；若死者生前是集体所有制组织成员，则归所在集体所有制组织所有。
分析说明：
法定继承顺序：
- 根据《中华人民共和国民法典》继承编的相关规定，遗产的继承首先按照法定继承顺序进行。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。在您提到的情况中，两个儿子不在（可能指不在世或放弃继承），那么如果老公公的配偶（即妻子）还在世，她将作为第一顺序继承人继承遗产。
- 如果配偶也不在世，或者放弃继承，那么遗产将由第二顺序继承人继承，包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
遗嘱继承：
- 如果老公公生前立有遗嘱，并且遗嘱中指定了除两个儿子以外的其他继承人，那么遗产将按照遗嘱进行分配。遗嘱继承优先于法定继承。
无人继承又无人受遗赠的遗产处理：
- 如果老公公没有留下遗嘱，且上述法定继承人均不存在或放弃继承，那么根据法律规定，该遗产将归国家所有，用于公益事业。
- 如果死者生前是集体所有制组织成员，那么遗产将归所在集体所有制组织所有。
特殊场景：
- 在实际生活中，可能存在更复杂的情况，比如部分继承人先于被继承人死亡，或者存在代位继承、转继承等情形。这些情况下，遗产的分配将更加复杂，需要具体分析。
- 另外，如果老公公的遗产中包含与他人共有的财产，如夫妻共同财产，那么在继承时需要先分割出属于老公公的部分，再进行继承。
行动建议：
- 如果您或您的家人面临此类情况，建议首先收集老公公的遗嘱（如果有的话）、亲属关系证明等相关材料。
- 然后，可以咨询专业的律师或法律机构，了解具体的继承程序和法律规定，以确保遗产的合法、公正分配。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。