工厂私自开除员工，即违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金，并可能额外支付一个月的代通知金（如未提前一个月通知）。以下是对这一问题的详细分析：

1. 赔偿金的计算与支付：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同的，应依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2。其中，工作年限自劳动者入职之日起计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包含计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。

2. 工作年限与月工资的确定细节：

   • 工作年限包括劳动合同期内及依法顺延的期间，如因工伤停工留薪期等。
   • 若劳动者月工资高于所在直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿按月平均工资三倍的数额支付，且补偿年限最高不超过十二年。例如，若当地上年度职工月平均工资为5000元，劳动者月工资为20000元（高于三倍即15000元），则经济补偿按月工资15000元计算，且补偿年限最高不超过十二年。
   • 若平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准计算月工资；若工作不满12个月，按实际工作的月数计算平均工资。

3. 代通知金的支付条件：

   • 如用人单位未提前一个月通知劳动者解除劳动合同，还需额外支付一个月的工资作为代通知金。这一个月工资的计算标准与月工资的定义相同。

4. 维权途径与建议：

   • 劳动者遭遇违法解除劳动合同时，可首先与用人单位协商赔偿事宜，尝试友好解决。
   • 协商不成时，可向当地劳动监察部门投诉，请求其介入调查并处理。
   • 也可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据材料，如劳动合同、工资单、开除通知等，以证明用人单位的违法行为。
   • 对仲裁结果不服的，有权在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身权益。

举例说明：假设劳动者在工厂工作了3年4个月，月工资为6000元，且未提前一个月收到开除通知。那么，工厂应支付的赔偿金为：（3年 × 6000元/年 + 0.5年 × 6000元/半年）× 2 = 42000元；同时，还需支付一个月的代通知金6000元。因此，工厂总共应支付给劳动者的金额为48000元。

在处理此类劳动纠纷时，请务必保留好相关证据材料，并尽快采取行动以维护自身权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。