当工厂开除员工时，赔偿的具体方式和金额需依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合实际情况来确定。以下是对此问题的详细解答：
一、合法解除劳动合同的赔偿
协商解除：
- 若工厂与员工协商一致解除劳动合同，工厂需按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。
- 工作六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
无过失性辞退：
- 若员工因非过失性原因（如患病或非因工负伤在医疗期满后不能从事原工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任等）被工厂解除劳动合同，工厂应支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式与协商解除相同，即按工作年限支付相应月份的工资作为补偿。
经济性裁员：
- 在符合法定条件（如企业破产重整、生产经营严重困难等）的情况下，工厂可以进行经济性裁员，并依法支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式同样与上述无过失性辞退相同。
二、违法解除劳动合同的赔偿
- 若工厂违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定解除劳动合同，如未按照法定程序或条件解除合同，则属于违法解除。
- 在此情况下，若员工不要求继续履行合同或合同已无法继续履行，工厂应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。即赔偿金=经济补偿金×2。
- 经济补偿金的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准（注意这里是双倍，因为违法解除需加倍赔偿）向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付一个月工资的赔偿金（但实际上是双倍的这个月工资作为赔偿的一部分，不过通常我们更关注于“每满一年支付两个月”这一主要规则）。
三、特殊情况的赔偿
未提前通知的代通知金：
- 若工厂没有提前三十日以书面形式通知员工就解除劳动合同，除了支付经济补偿外，还需额外支付一个月的工资作为代通知金。
- 但若工厂选择了额外支付一个月工资来替代提前通知的义务，则不再需要支付代通知金与经济补偿之外的额外费用（不过，这并不影响违法解除时应支付的赔偿金）。
未支付劳动报酬、加班费或经济补偿的加付赔偿金：
- 若工厂拖欠或未足额支付劳动报酬、加班费或经济补偿，且经劳动行政部门责令限期支付后逾期不支付的，工厂应按应付金额的50%以上100%以下的标准向员工加付赔偿金。
四、建议与操作
- 了解法律依据：员工应首先了解《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规中关于解除劳动合同和经济补偿的规定。
- 收集证据：保留好劳动合同、工资条、考勤记录、解雇通知书等证据材料，以便在需要时证明自己的权益。
- 与工厂协商：尝试与工厂进行协商，争取达成合理的赔偿协议。
- 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的还可以向人民法院提起诉讼。
综上所述，工厂开除员工的赔偿方式和金额需根据具体情况和法律规定来确定。员工在面临此类情况时，应了解自己的权益并采取相应的措施来维护自己的合法权益。