工厂不能随意开除员工，否则将构成违法解除劳动合同，需依法向员工支付经济赔偿金。赔偿金的计算通常基于员工在工厂的工作年限和月工资，且为经济补偿标准的二倍。以下是对此问题的详细分析：
一、合法解除劳动合同的赔偿情况
协商一致解除劳动合同：
- 如果工厂与员工协商一致解除劳动合同，那么经济补偿的标准由双方自行约定。但通常情况下，也会参照《劳动合同法》的相关规定进行协商。
无过失性辞退：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，如果员工因非过失性原因（如患病或非因工负伤在医疗期满后不能从事原工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任等）被工厂解除劳动合同，工厂应支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
经济性裁员：
- 在符合法定条件的情况下，工厂可以进行经济性裁员，并依法支付经济补偿金，计算方式与上述无过失性辞退相同。
二、违法解除劳动合同的赔偿情况
- 如果工厂违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定解除劳动合同，如无故辞退员工或在员工处于特殊保护期间（如孕期、产期、哺乳期）解除劳动合同，工厂应当依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。即，除了原本应支付的经济补偿金外，还需额外支付一倍作为赔偿金。
三、赔偿金的具体计算
经济补偿的计算：
- 工作年限与月数计算：每满一年支付一个月工资的标准向员工支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资的确定：月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果员工月工资高于工厂所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
赔偿金的计算：
- 赔偿金为经济补偿标准的二倍。即，如果经济补偿为X元，则赔偿金为2X元。
举例说明：
假设员工小李在某工厂工作了4年零5个月，其劳动合同解除前十二个月的平均工资为6000元。由于工作年限4年零5个月（按4.5年计算，但经济补偿按5年算，因为六个月以上不满一年按一年计算），正常情况下经济补偿应为5个月工资，即5×6000 = 30000元。但因工厂是违法解除劳动合同，所以小李能获得的赔偿金为经济补偿的二倍，即30000×2 = 60000元。
四、维权途径与注意事项
如果遇到工厂随意开除的情况，员工可以通过以下途径维护自身权益：
- 协商解决：首先尝试与工厂进行协商，要求其支付相应的赔偿金。
- 申请调解：可以向本单位劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或者在乡镇、街道设立的具有劳动争议调解职能的组织申请调解。
- 申请仲裁：协商或调解不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需要注意的是，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。在申请仲裁时，员工应提供与工厂存在劳动关系以及工厂无故辞退自己的相关证据。
- 提起诉讼：对仲裁裁决不服的，除法律另有规定的外，可以向人民法院提起诉讼。
总之，工厂不能随便开除员工，否则需要承担相应的法律责任和经济赔偿责任。员工在遇到此类情况时，应了解自己的合法权益，并通过合法途径积极维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。