结论：教师事业编在上班途中发生交通事故，申请工伤后，交强险那边仍然可以赔误工费，但需注意工伤赔偿与交强险赔偿的协调问题，避免重复获赔。
详细分析：
工伤认定与交强险赔偿的独立性：
- 工伤认定：根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。因此，教师事业编在上班途中发生交通事故，若符合上述条件，可以申请工伤认定。
- 交强险赔偿：交强险是机动车交通事故责任强制保险的简称，其赔偿范围包括死亡伤残赔偿、医疗费用赔偿和财产损失赔偿。其中，死亡伤残赔偿项下就包含了误工费。因此，在交通事故中，如果教师事业编作为受害者，有权向交强险承保公司主张误工费等赔偿。
工伤赔偿与交强险赔偿的协调：
- 避免重复获赔：虽然工伤赔偿和交强险赔偿在法律上是独立的，但在实际操作中，需要避免受害者重复获赔。例如，如果工伤赔偿中已经包含了误工费，那么在向交强险承保公司主张误工费时，就需要扣除已经获得的工伤误工费部分。
- 赔偿顺序：一般来说，受害者可以先向交强险承保公司主张赔偿，如果交强险赔偿不足，再向用人单位主张工伤赔偿。或者，受害者也可以同时向两者主张赔偿，但在最终获赔时，需要扣除重复部分。
具体操作建议：
- 及时申请工伤认定：在发生交通事故后，教师应尽快向所在单位报告，并由单位向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 收集证据材料：为了支持工伤认定和交强险赔偿的申请，教师需要收集相关证据材料，如交通事故认定书、医疗证明、误工证明等。
- 咨询专业律师：由于工伤赔偿和交强险赔偿涉及复杂的法律问题，建议教师在处理过程中咨询专业律师，以确保自己的权益得到充分保障。
举例说明：
假设教师张某在上班途中发生交通事故，导致受伤并住院治疗，期间无法工作。张某可以向所在单位申请工伤认定，并同时向交强险承保公司主张误工费等赔偿。如果工伤认定成功，且交强险赔偿中包含了误工费，那么张某在最终获赔时，需要确保工伤误工费和交强险误工费不重复计算。
后续行动建议：
如果您或您身边的人遇到了类似情况，建议尽快咨询专业律师，以便更详细地了解工伤认定和交强险赔偿的具体流程和要求，以及如何避免重复获赔等问题。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。