事业单位聘用合同5年期满后的处理方式，需根据合同约定、单位规定及法律法规综合判断，具体如下：

1. 合同续签
   若双方均有续签意愿，且劳动者符合续签条件（如无严重违纪、考核合格等），单位应依法续签合同。根据《事业单位人事管理条例》第十二条，续签合同期限可由双方协商确定，但需注意：

   • 若原合同为固定期限合同，续签时单位可选择签订固定期限或无固定期限合同；
     
   • 若劳动者在单位连续工作满10年，或连续签订两次固定期限合同后提出续签，单位应签订无固定期限合同（除非劳动者主动要求签订固定期限合同）。

2. 合同终止
   若合同期满后单位或劳动者不同意续签，合同依法终止。此时需注意：

   • 经济补偿：根据《劳动合同法》第四十六条，若单位不续签或降低条件导致劳动者不续签，单位需支付经济补偿（按工作年限，每满1年支付1个月工资）；
     
   • 手续办理：单位应在合同终止后15日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续，并出具终止证明。

3. 特殊情形处理

   • 劳动者患病或非因工负伤：若医疗期未满，合同应续延至医疗期满；
     
   • 女性劳动者孕期、产期、哺乳期：合同应续延至相应情形消失；
     
   • 劳动者符合签订无固定期限合同条件但单位未签订：劳动者可要求单位签订，或主张未签订期间的双倍工资差额（部分地区支持）。

建议行动：

• 若您希望续签，可提前与单位沟通续签意愿及条件；
  
• 若单位不续签或降低条件，可要求单位出具书面说明并保留证据，必要时通过劳动仲裁主张权益；
  
• 若涉及特殊情形（如医疗期、三期等），需及时向单位说明并保留相关证明材料。
  

如有进一步疑问或需具体指导，可直接向我咨询。