结论：在此情况下，若发生工伤，原则上应由家政公司负责，但具体责任划分还需根据实际情况和证据来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、法律关系分析
劳动关系认定：
- 根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，劳动者与用人单位之间建立劳动关系，应当签订书面劳动合同。虽然您提到是家政公司派您去雇主家工作，且雇主按月发工资，但这并不直接决定劳动关系的归属。关键在于您与家政公司之间是否签订了劳动合同，以及家政公司是否对您进行了管理、支付工资等。
- 如果您与家政公司签订了劳动合同，且家政公司对您进行了日常管理、支付工资等，那么您与家政公司之间构成劳动关系。在此情况下，若发生工伤，应由家政公司承担工伤保险责任。
雇佣关系与承揽关系：
- 如果您与家政公司之间并未签订劳动合同，而是以完成一定工作任务为期限的雇佣关系或承揽关系，那么情况会有所不同。但通常在家政服务领域，家政公司会作为雇主与家政服务人员建立劳动关系，以规避法律风险。
- 即便如此，如果雇主直接与您建立了雇佣关系（这种情况较为少见，且通常不符合家政服务的常规操作模式），那么雇主可能需要承担一定的工伤保险责任。但这种情况需要具体的证据来支持，如雇佣合同、工资支付记录等。
二、工伤认定与赔偿
工伤认定：
- 无论您与家政公司还是雇主之间构成何种关系，若发生工伤，首先需要进行工伤认定。工伤认定是确定工伤赔偿的前提和基础。
- 工伤认定通常由社会保险行政部门负责，需要提交相关的证据材料，如医疗证明、工作证明、事故报告等。
赔偿主体与标准：
- 如果您与家政公司构成劳动关系，且家政公司为您缴纳了工伤保险费，那么工伤赔偿应由工伤保险基金支付。如果家政公司未为您缴纳工伤保险费，那么工伤赔偿应由家政公司承担。
- 赔偿标准通常包括医疗费、护理费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等，具体标准根据《工伤保险条例》及相关规定执行。
三、建议与措施
收集证据：
- 无论您与家政公司还是雇主之间构成何种关系，都应尽可能收集相关的证据材料，如劳动合同、工资支付记录、工作证明、医疗证明等，以备不时之需。
及时申报工伤：
- 若发生工伤，应及时向家政公司或雇主报告，并尽快向社会保险行政部门申报工伤认定。
寻求法律帮助：
- 如果在工伤认定或赔偿过程中遇到困难或争议，可以寻求专业的法律帮助。作为专业律师，我可以为您提供详细的法律咨询和代理服务，帮助您维护自己的合法权益。
四、特殊情况说明
- 如果家政公司、雇主与您之间就工伤责任存在争议，且无法通过协商解决，那么可能需要通过法律途径来解决。在此情况下，法院会根据具体的证据和法律规定来判断责任归属，并作出相应的判决。
总之，若您与家政公司构成劳动关系，且家政公司为您缴纳了工伤保险费，那么工伤赔偿应由工伤保险基金支付；如果家政公司未为您缴纳工伤保险费，则应由家政公司承担。若存在其他特殊情况或争议，建议及时寻求专业的法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。