结论：在事业单位中，员工因照顾老人请病假，一般情况下单位不能随意开除。但具体是否构成开除的合法理由，需结合请假时长、单位规章制度以及相关法律法规来综合判断。

详细分析：

1. 法律法规层面：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工因患病或非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。这里的“患病”并未特指员工本人患病，从广义上理解，可以包括员工因家庭成员患病需要照顾而请假的情况，尤其是当这种照顾是必要且合理的时。然而，具体是否适用，还需结合医疗期的规定以及单位规章制度来判断。
   • 医疗期的具体时长根据员工的工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为3个月到24个月不等。在医疗期内，员工享有病假工资或疾病救济费，且用人单位不得解除劳动合同。

2. 单位规章制度层面：

   • 事业单位通常会有自己的规章制度，其中可能包括关于病假的具体规定。如果规章制度中明确规定了员工因家庭成员患病需要照顾时的请假流程和时长限制，以及超出规定时长后的处理措施，那么单位在处理此类情况时需遵循这些规定。
   • 如果规章制度中未明确提及或规定不明确，单位应秉持合理、公正的原则进行处理，不得随意开除员工。

3. 实际操作层面：

   • 员工因照顾老人请病假时，应尽可能提前与单位沟通，说明情况并提交相关证明材料（如医院出具的证明、老人的病情说明等），以便单位了解并安排工作。
   • 单位在收到员工的请假申请后，应尽快进行审批，并根据实际情况和规章制度作出合理决定。如果员工请假时长在医疗期内且符合单位规定，单位应予以批准；如果超出医疗期或不符合单位规定，单位可以与员工协商解决方案，如调整工作岗位、缩短请假时长等，而非直接开除。

法律建议：

• 如果您因照顾老人请病假而面临被开除的风险，首先应查看单位的规章制度，了解关于病假的具体规定。
• 如果单位规章制度中未明确规定或规定不明确，您可以与单位进行沟通协商，说明情况并寻求合理解决方案。
• 如果单位坚持开除您且您认为此决定不合法或不合理，您可以向劳动争议调解委员会申请调解或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。

可能后果：

• 如果单位违法开除您，您有权要求单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。
• 如果单位开除您的决定合法且合理（如您请假时长超出医疗期且不符合单位规定），则您可能需要接受这一决定并寻找新的工作机会。但在此过程中，您仍应确保自己的权益不受侵害，如要求单位出具书面开除通知、办理离职手续等。