行政机关被行政处罚时，确实可以对相关责任人进行问责。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

一、法律依据与原则

根据《中华人民共和国行政处罚法》及相关法律法规，行政机关作为法人的一种，在违反行政管理秩序时，同样应受到行政处罚。这不仅是对单位违法行为的惩戒，也是维护行政管理秩序和公共利益的需要。同时，行政机关的违法行为往往与相关责任人的行为密切相关，因此对责任人进行问责是法律责任的必然延伸。

二、问责的具体情形与方式

1. 外部行政管理领域的问责：

   • 当行政机关在社会经济活动或外部事务中违反相关行政管理秩序时，如未取得施工许可证擅自施工等建设违规行为，除了对行政机关本身进行处罚（如罚款、责令停止施工等）外，还可能对直接负责的主管人员和其他直接责任人员给予行政处分，如警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等。

2. 内部行政管理领域的问责：

   • 在内部行政管理领域，如果行政机关违反内部管理规定，如上级财政纪律或专项资金使用违规，上级行政机关或有关部门除了对单位进行整改要求外，也会依据相关规定对责任人员进行问责，这可能包括行政处分、责令改正、通报批评等措施。

3. 特定情形下的问责：

   • 在某些特定情形下，如行政机关的违法行为导致严重后果或社会影响恶劣时，对相关责任人的问责可能更加严厉。例如，可能涉及刑事责任的追究，如滥用职权罪、玩忽职守罪等。

三、问责的法律依据与程序

1. 法律依据：

   • 问责的法律依据主要包括《中华人民共和国行政处罚法》、《中华人民共和国公务员法》、《行政机关公务员处分条例》以及相关行业或领域的特定法律法规。

2. 问责程序：

   • 问责程序通常包括调查、取证、听证、决定和执行等环节。在调查阶段，需要查明事实真相，确定责任人员；在取证阶段，需要收集相关证据材料；在听证阶段，需要听取责任人员的陈述和申辩；在决定阶段，需要根据调查结果和法律规定作出问责决定；在执行阶段，需要将问责决定付诸实施。

四、实际案例与启示

在实际操作中，已经有许多行政机关因违法行为被处罚并对相关责任人进行问责的案例。例如，某地建设行政主管部门因未依法履行监管职责导致重大安全事故发生，除了对建设单位进行处罚外，还对直接负责的主管人员和其他直接责任人员给予了行政处分。这些案例表明，对行政机关违法行为的问责不仅是对单位本身的惩戒，也是对相关责任人员的警示和教育。

五、建议与展望

1. 加强法律法规宣传与培训：

   • 加强对行政机关工作人员的法律法规宣传与培训，提高其法律意识和合规意识，减少违法行为的发生。

2. 完善问责机制与程序：

   • 进一步完善问责机制与程序，确保问责的公正性、透明性和有效性。同时，加强对问责决定的执行与监督，确保问责措施落到实处。

3. 强化社会监督与舆论引导：

   • 强化社会监督与舆论引导，鼓励公众参与对行政机关违法行为的监督与举报。同时，加强对问责案例的宣传与报道，提高公众对问责制度的认知与信任。

综上所述，行政机关被行政处罚时可以对相关责任人进行问责。这是维护行政管理秩序和公共利益的需要，也是法律责任的必然延伸。在实际操作中，需要依据相关法律法规和程序进行问责，并加强法律法规宣传与培训、完善问责机制与程序以及强化社会监督与舆论引导等方面的工作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。