1. 关于冷静期到期后一方故意不签字的问题
   根据《民法典》第1077条，离婚冷静期届满后，双方需在30日内共同到婚姻登记机关申请离婚证。若一方故意拖延或拒绝签字，离婚程序无法通过行政登记完成，此时另一方可选择向法院提起离婚诉讼，通过司法途径解除婚姻关系。

   • 诉讼离婚的关键点：
     
     • 需证明夫妻感情确已破裂（如分居满2年、家暴、出轨等法定情形）；
       
     • 若对方与情人同居，可收集证据（如聊天记录、照片、证人证言等）证明“重婚或与他人同居”，这属于法定离婚事由（《民法典》第1079条）；
       
     • 法院判决离婚后，无需对方签字即可生效。
       

2. 关于对方与情人同居的应对策略
   若对方在冷静期内与他人同居，不仅可能构成婚姻过错，还可能影响财产分割和子女抚养权判决：

   • 财产分割：

     • 无过错方可主张多分共同财产（《民法典》第1087条）；
       
     • 若对方用夫妻共同财产为情人支出（如转账、购房），可要求返还（《民法典》第1062条）。
       

   • 子女抚养权：

     • 法院会优先考虑子女利益，若对方存在出轨、同居等行为，可能降低其获得抚养权的概率；
       
     • 可主张对方支付更高抚养费或限制其探视权（需证明其行为对子女不利）。
       

3. 行动建议

   • 收集证据：保存对方与情人同居的证据（如租房合同、同进同出照片、视频等），以及对方拒绝配合离婚的沟通记录（如短信、录音）；
     
   • 提起诉讼：向法院递交离婚起诉状，并附上证据材料，申请法院判决离婚；
     
   • 申请行为保全：若对方存在转移财产、虐待子女等行为，可向法院申请禁止其实施相关行为。
     

总结：对方故意拖延不签字或与他人同居，无法阻止你通过诉讼离婚，但需提前准备证据以维护自身权益。如有具体细节需要进一步分析，可直接向我咨询。