结论：劳务派遣公司承接用工单位的业务后当天就外包给另一公司，这一行为是否违法，不能一概而论，需要结合具体情况和相关法律法规进行综合判断。以下从不同角度进行分析：
劳务派遣与业务外包的法律区别：
- 劳务派遣是指劳务派遣单位与被派遣劳动者建立劳动关系，并将劳动者派遣到用工单位从事劳动的一种特殊用工形式。在劳务派遣中，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，如签订劳动合同、支付工资、缴纳社会保险等。
- 业务外包则是指企业将部分业务或职能工作发包给相关的机构，由其自行安排人员按照企业的要求完成相应的业务或职能工作。在业务外包中，发包企业与承包企业之间是合同关系，承包企业与其员工之间是劳动关系，发包企业不直接管理承包企业的员工。
判断行为合法性的关键因素：
- 合同关系：首先，需要查看劳务派遣公司与用工单位之间的合同内容，以及劳务派遣公司与外包公司之间的合同内容。如果合同中明确约定了劳务派遣公司可以将其承接的业务外包给其他公司，并且这种外包行为符合相关法律法规的规定，那么这种行为可能是合法的。
- 劳动者权益保护：其次，需要关注这种外包行为是否损害了劳动者的合法权益。例如，劳务派遣公司是否仍然履行了用人单位的义务，如支付工资、缴纳社会保险等；外包公司是否与劳动者签订了劳动合同，并提供了相应的劳动条件和劳动保护。如果这些权益得到了保障，那么这种行为可能不构成违法。
- 业务性质与外包范围：此外，还需要考虑业务的性质和外包的范围。如果劳务派遣公司承接的是核心业务或关键岗位，并且将其外包给了不具备相应资质或能力的公司，那么这种行为可能违反了相关法律法规的规定，如《劳务派遣暂行规定》中关于劳务派遣岗位“三性”（临时性、辅助性、替代性）的规定。
可能的法律后果：
- 如果劳务派遣公司的外包行为违反了相关法律法规的规定，如未经用工单位同意擅自外包、损害劳动者权益等，那么可能面临行政处罚、民事赔偿等法律后果。例如，劳动行政部门可以责令其改正，并可能处以罚款；劳动者也可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求劳务派遣公司或外包公司承担相应的法律责任。
建议：
- 对于劳务派遣公司而言，在承接业务后考虑外包时，应仔细审查合同内容，确保外包行为符合相关法律法规的规定，并充分保障劳动者的合法权益。
- 对于用工单位而言，应加强对劳务派遣公司的监督和管理，确保其合法合规地使用劳务派遣用工形式，并避免将核心业务或关键岗位外包给不具备相应资质或能力的公司。
- 对于劳动者而言，如果发现自己的权益受到损害，应及时向劳动行政部门或劳动争议仲裁委员会寻求帮助，维护自己的合法权益。
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