针对您提出的“行政机关无法定职责的回复的行政复议案件如何处理”这一问题，这实际上涉及到了行政复议过程中行政机关不作为或未履行法定职责的情况。以下是我为您详细梳理的处理流程和建议：
一、理解行政复议的基本框架
首先，我们需要明确行政复议是公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益时，依法向有复议权的行政机关提出申请，由受理申请的行政机关对原具体行政行为依法进行审查并作出决定的活动。当行政机关在行政复议过程中无法定职责的回复，即未履行其应尽的复议职责时，申请人有权采取进一步措施。
二、处理流程
等待法定期限届满：
- 行政复议机关在受理申请后，通常应在六十日内作出行政复议决定。这是法律规定的合理审查时间。
- 若案件复杂，不能在规定期限内作出决定的，经行政复议机关的负责人批准，可以适当延长，但延长期限最多不超过三十日。
- 在此期间，申请人应耐心等待复议机关的决定。
书面催促行政复议机关：
- 若接近或超过法定答复期限仍未收到回复，申请人可以以书面形式向行政复议机关发送催促函。
- 催促函中应明确提醒复议机关履行法定职责，尽快作出复议决定，并指出其行为可能违反《行政复议法》的相关规定。
- 保留好发送催促函的凭证，如邮政快递底单等，以备后续可能的法律程序之需。
向上级行政机关反映：
- 若行政复议机关在法定期间内未作出复议决定，申请人可以向其上级行政机关反映情况。
- 上级机关有权对下级机关的行政行为进行监督，并可以责令该复议机关限期作出复议决定。
- 通过向上级机关反映，可以促使复议机关依法履行职责，提高行政效率。
提起行政诉讼：
- 如果上述措施均未能促使行政复议机关作出决定，申请人可以在规定期限内向人民法院提起行政诉讼。
- 诉讼的目的是要求法院判决复议机关履行法定职责，即作出行政复议决定。
- 起诉期限一般应自知道或者应当知道复议机关不作为之日起六个月内提出，但需注意不同情形下的具体起诉期限可能有所不同。
- 在提起行政诉讼前，建议再次以书面形式催促复议机关，并保留相关证据，以增强诉讼的说服力。
三、特别注意事项
- 证据收集：在整个过程中，申请人应注重收集和保留相关证据，如行政复议申请书、催促函、邮政快递底单等，以证明自己已经采取了合法合理的措施来维护自己的权益。
- 法律咨询：由于行政复议和行政诉讼涉及复杂的法律程序和规定，建议申请人在处理过程中咨询专业律师或法律机构，以获取更具体、更专业的法律建议。
综上所述，面对行政机关无法定职责的回复的行政复议案件，申请人可以通过等待法定期限届满、书面催促、向上级机关反映以及提起行政诉讼等多种途径来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。