您可以按照以下步骤处理此事，以最大限度维护自身权益：

1. 立即固定证据

   • 现场取证：第一时间拍摄事故现场照片（包括车辆碾压痕迹、狗的尸体位置、周边环境），若家门口有监控需立即保存视频（注意避免覆盖原始数据）。
     
   • 目击证人：寻找附近目击者，记录其姓名、联系方式及证言内容（如车辆型号、颜色、车牌号等关键信息）。
     
   • 报警处理：立即拨打110或前往派出所报案，明确要求警方立案调查（即使未当场抓获肇事者，警方调取周边道路监控可锁定车辆）。

2. 法律责任认定

   • 肇事者责任：根据《民法典》第1246条，若肇事者未尽到“管理注意义务”（如未观察路况、未减速），需承担侵权赔偿责任，赔偿范围包括狗的市场价值、合理医疗费（如有）、丧葬费等。
     
   • 您的责任：若狗未拴绳或未采取其他管理措施，可能被认定存在过错，需自行承担部分责任（具体比例由法院根据双方过错程度判定）。
     
   • 逃逸加重责任：若肇事者逃逸，可能面临行政处罚（如《道路交通安全法》第99条规定的200-2000元罚款、15日以下拘留），且逃逸行为不影响民事赔偿责任认定。

3. 维权途径

   • 协商解决：若通过监控或警方调查锁定肇事者，可先尝试协商赔偿（建议书面协议明确赔偿金额、支付方式及违约责任）。
     
   • 诉讼维权：若协商无果，可向法院提起民事诉讼，需准备证据材料（监控视频、报警回执、证人证言、狗的价值证明如购买凭证、宠物登记证等）。
     
   • 刑事报案：若狗价值较高（如名贵犬种），且肇事者逃逸情节恶劣，可向公安机关控告其涉嫌“故意毁坏财物罪”（需达到5000元以上损失标准）。

4. 预防措施建议

   • 加强管理：今后遛狗或让狗在户外活动时，务必使用牵引绳并佩戴嘴套，避免类似事件再次发生。
     
   • 安装监控：在家门口安装高清摄像头，覆盖公共区域，以便固定证据。
     
   • 宠物登记：及时为宠物办理登记手续，保留购买凭证、疫苗记录等，证明其价值。

若您需要进一步协助（如证据整理、诉讼文书起草或与警方沟通），可随时向我咨询，我会根据具体情况为您提供详细指导。