如果执法部门不履行企业宁静期制度，企业可以采取以下措施来维护自身权益：
了解并确认制度内容：
- 首先，企业需要明确“企业宁静期”制度的具体内容，包括该制度的适用范围、实施时间、执法部门的职责等。这有助于企业判断执法部门的行为是否确实违反了相关规定。
与执法部门沟通：
- 在确认执法部门存在不履行制度的行为后，企业可以尝试与执法部门进行沟通，了解其不履行制度的原因，并表达企业的诉求和期望。通过友好协商，有时可以解决问题，避免不必要的法律纠纷。
向上级部门或监督机构投诉：
- 如果沟通无果，企业可以向执法部门的上级部门或相关的监督机构进行投诉。这些机构通常有权对执法部门的行为进行监督和纠正，可以促使执法部门履行其职责。
寻求法律援助或提起行政诉讼：
- 如果上述措施均未能解决问题，企业可以考虑寻求法律援助，咨询专业律师（如我，马海东律师，专注于公司事务等领域）的意见。在律师的指导下，企业可以评估是否提起行政诉讼，通过法律途径来维护自身权益。行政诉讼是公民、法人或其他组织认为行政机关的行政行为侵犯其合法权益时，依法向人民法院提起诉讼，由人民法院进行审理并作出裁决的一种诉讼制度。
利用媒体和公众监督：
- 在某些情况下，企业还可以考虑通过媒体和公众监督来促使执法部门履行职责。通过公开报道和舆论压力，有时可以推动问题的解决。但需要注意的是，这种方式应谨慎使用，避免对企业造成不必要的负面影响。
法律背景与建议：
- 企业宁静期制度通常是为了保护企业的正常生产经营秩序，减少不必要的行政干扰而设立的。执法部门应当严格遵守该制度，不得随意对企业进行检查、调查等行政行为。
- 如果执法部门违反了企业宁静期制度，企业有权要求执法部门停止违法行为，并可以依法追究其法律责任。
- 在处理此类问题时，企业应保持冷静和理性，避免采取过激行为。同时，企业应积极收集证据，如执法部门的通知、检查记录等，以备后续维权之需。
可能法律后果：
- 如果执法部门不履行企业宁静期制度，且企业的合法权益因此受到侵害，执法部门可能需要承担行政责任，如被上级部门责令改正、通报批评等。
- 在极端情况下，如果执法部门的行为构成滥用职权或玩忽职守等犯罪行为，相关责任人员还可能面临刑事责任的追究。
总之，面对执法部门不履行企业宁静期制度的情况，企业应积极采取措施维护自身权益，并在必要时寻求法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。