双方私下协议赔偿在符合一定条件下是合法的。以下是对这一问题的详细分析：
一、私下协议赔偿的合法性条件
双方自愿、平等协商：私下协议赔偿的基础是双方自愿和平等协商。任何一方都不得利用优势地位或采取不正当手段迫使对方接受不公平的赔偿方案。例如，在交通事故中，双方应基于事故责任和实际损失情况，自愿、平等地协商赔偿金额和方式。
意思表示真实：协商过程中，双方的意思表示必须真实无误，不存在欺诈、胁迫等情形。如果一方通过欺诈或胁迫手段使对方接受不合理的赔偿方案，那么该协议可能因意思表示不真实而被认定为无效。
内容合法：赔偿协议的内容必须严格遵守法律、行政法规的强制性规定，不得违背公序良俗，也不得损害国家、集体或第三人的合法权益。例如，赔偿协议中不得包含非法条款，如要求对方承担违法犯罪活动的责任等。
形式建议：虽然法律并未强制要求私下赔偿协议必须采用书面形式，但为了确保协议的明确性、效力和可执行性，建议双方签订书面协议，并详细列明赔偿金额、支付方式、履行期限等关键条款。双方签字确认后，该协议即具有法律效力。
二、私下协议赔偿的限制与例外
尽管私下协议赔偿在大多数情况下是合法的，但在某些特殊情况下可能会受到限制或无效。例如：
涉及公共利益或应当由专门机关处理的事项：如环境污染损害赔偿等可能影响公共环境安全的情况，相关行政机关或司法机关可能会介入以确保符合公共利益和法律规定。
协议内容违反法律、行政法规的强制性规定：如协议内容排除侵权人应承担的合理责任，或包含非法条款等，该协议将被认定为无效。
存在欺诈、胁迫等情形：若一方以欺诈、胁迫手段使对方违背真实意思签订协议，受损害方有权请求人民法院或仲裁机构撤销该协议。
三、私下协议赔偿的履行与救济
履行：如果赔偿协议已履行或具备履行条件，且双方无异议，则协议更有可能被认定为有效并继续履行。
救济：如一方不履行协议，另一方可以通过法律途径维护权益，包括向法院提起民事诉讼，要求违约方承担继续履行、补救措施或赔偿损失等责任。
四、实际操作建议
明确关键条款：在签订赔偿协议时，应明确赔偿的金额、支付方式、支付时间等关键条款，确保协议内容具体、清晰。
签字盖章确认：双方应在协议上签字或盖章确认，以示对协议内容的认可。
考虑第三方见证或公证：为了增强协议的法律效力和可信度，可以考虑邀请第三方见证或请公证机构进行公证。
总结来说，双方私下协议赔偿在符合自愿、平等协商、意思表示真实、内容合法等条件下是合法的。然而，为了确保协议的效力和可执行性，双方在协商过程中应谨慎处理，并尽量签订书面协议。如果遇到复杂或敏感问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见。