针对您提出的问题，即在工厂没有签订合同、没有打卡机、工资发现金的情况下如何证明劳动关系，并且您提到了公安局发的居住证，以下是我为您提供的详细解答：

一、关键证据的收集与利用

1. 公安局发的居住证：

   • 居住证上通常会注明您的居住地址，如果该地址与工厂地址一致，那么它就是一个有力的证据，证明您在该工厂所在地居住，从而间接支持您与该工厂存在劳动关系的可能性。

2. 其他身份证明与工作相关证件：

   • 尽管没有正式的工作合同，但您可以尝试寻找其他能证明您身份和工作关系的证件，如工作证、服务证、门禁卡（如果有的话）、饭卡等。这些证件上如果印有公司名称、您的姓名或照片，将直接证明您与工厂的劳动关系。

3. 工作成果与业务交流记录：

   • 保留您在工作中产生的所有文件、报告、设计图纸、策划文案等工作成果，特别是那些含有公司标志或项目名称的材料。
   • 同时，收集与客户、供应商或同事之间的业务往来邮件、短信、微信聊天记录等，这些记录能体现您的工作职责和业务内容，是证明劳动关系的重要证据。

4. 招聘与培训相关记录：

   • 如果您还保留有应聘时填写的招聘登记表、报名表，或者参加公司培训的记录（如培训通知、签到表、证书等），这些也将有助于证明您与工厂的劳动关系。

5. 考勤与工作安排的替代证据：

   • 尽管没有打卡记录，但您可以尝试获取其他形式的考勤记录，如电子考勤截图（如果工厂有电子考勤系统但未给您打卡权限）、纸质签到表（如果有同事愿意为您作证）等。
   • 同时，保留工作安排通知、岗位调动文件等，这些文件能证明您的工作内容和职责，是证明劳动关系的有力证据。

6. 财务与支付记录：

   • 尽管工资是现金发放，但您可以尝试获取银行转账记录（如果工资部分或全部通过银行转账）、工资条（如果有的话）或工厂财务部门出具的工资支付证明等。
   • 如果没有这些直接证据，您还可以收集与工资支付相关的其他信息，如工资发放的时间、地点、方式等，以及工厂其他员工的证言来支持您的主张。

7. 同事与客户证言：

   • 寻找在职或离职的同事，请他们为您出具证言，描述您的工作情况、互动等。
   • 同时，联系曾代表工厂与之合作的客户，请他们为您出具证言，证明您与工厂之间的业务关系。

8. 视听资料：

   • 如果您在公司工作期间拍摄了照片或视频，这些影像资料也可以作为证明劳动关系的证据。

二、法律途径与救济措施

1. 向劳动监察部门投诉：

   • 如果工厂否认与您存在劳动关系，您可以向当地劳动监察部门投诉，请求他们进行调查处理。劳动监察部门有权对工厂进行调查，并要求工厂提供相关证据来证明或否认与您的劳动关系。

2. 申请劳动仲裁：

   • 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，您有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认您与工厂之间的劳动关系，并主张您的合法权益（如工资、加班费、社会保险等）。

3. 提起诉讼：

   • 如果对仲裁结果不服，您可以依法向人民法院提起诉讼，通过司法程序来维护您的合法权益。

三、证据收集的注意事项

• 合法性：确保所有收集的证据均合法有效，不得侵犯他人隐私或违反法律法规。
• 真实性：保持证据的真实性和完整性，避免篡改或伪造证据。
• 关联性：确保证据与证明劳动关系直接相关，增强证据的说服力。

结论

综上所述，尽管在没有劳动合同、打卡记录和工资条的情况下证明劳动关系存在一定难度，但通过综合收集上述各类证据，并结合法律途径与救济措施，您仍能有效证明您与工厂之间的劳动关系，从而维护自己的合法权益。在收集证据和进行法律程序时，建议您咨询专业律师以获取更具体的指导和帮助。