若伤残等级4级鉴定结论已由合法鉴定机构出具，公司和保险公司不认可且拒绝赔付的，可通过以下途径解决：

1. 核查鉴定程序合法性，要求对方书面说明拒赔理由
   根据《工伤保险条例》第二十六条（工伤场景）或《司法鉴定程序通则》第三十一条（人身损害场景），若鉴定机构具备资质、程序合法（如随机选择鉴定机构、双方到场参与鉴定等），鉴定结论具有法律效力。
   若公司或保险公司仅口头拒赔，可要求其出具书面拒赔通知，明确拒赔依据（如质疑鉴定机构资质、程序违法或结论与事实不符）。若对方无法提供合法理由，其拒赔行为可能构成违法。

2. 协商或申请重新鉴定（需符合法定条件）

   • 协商解决：若对方对鉴定结论有异议，可尝试协商共同委托另一家有资质的鉴定机构重新鉴定（需双方同意并签订协议）。
     
   • 申请重新鉴定：
     
     • 工伤场景：根据《工伤保险条例》第二十八条，公司或劳动者可在收到鉴定结论后15日内向省级劳动能力鉴定委员会申请再次鉴定，最终结论为生效结论。
       
     • 人身损害场景：若通过法院诉讼，可依据《民事诉讼法》第七十九条申请法院委托重新鉴定，但需提供证据证明原鉴定存在程序违法、依据不足等情形。
       

3. 向监管部门投诉或申请劳动仲裁/提起诉讼

   • 投诉途径：
     
     • 若公司未缴纳工伤保险，可向当地社保部门举报其违法行为（《社会保险法》第八十四条）；
       
     • 若保险公司拒赔，可向银保监会投诉（电话12378），要求监管部门介入调查。
       
   • 劳动仲裁/诉讼：
     
     • 工伤场景：若公司拒绝支付工伤待遇，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付一次性伤残补助金、伤残津贴等（《工伤保险条例》第三十五条）；
       
     • 人身损害场景：若因他人侵权导致伤残（如交通事故），可直接向法院起诉侵权方及保险公司，要求赔偿医疗费、残疾赔偿金等（《民法典》第一千一百七十九条）。
       

关键提醒：

• 保留所有证据（鉴定报告、拒赔通知、沟通记录等），作为后续维权依据；
  
• 若公司未缴纳工伤保险，所有工伤待遇均由公司承担（《工伤保险条例》第六十二条）；
  
• 伤残津贴（工伤场景）需按月支付至退休，若公司停发，可随时申请仲裁或诉讼。
  

行动建议：

1. 立即向公司/保险公司书面索要拒赔理由及依据；
   
2. 若对方拒绝提供或理由不合法，15日内申请重新鉴定（工伤场景）或直接投诉/起诉；
   
3. 如有疑问，可进一步提供鉴定报告、保险合同等材料，我将协助分析拒赔是否合法。