核心结论：第三方机构怀孕员工合同到期是否续签，需分情况讨论，具体如下：

1. 一般情况下合同到期不续签的合法性
   根据《劳动合同法》第四十四条、第四十五条规定，劳动合同期满时，若女职工处于孕期、产期、哺乳期（以下简称“三期”），劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。因此，若员工处于“三期”，第三方机构不得以合同到期为由直接终止劳动关系，必须续延至哺乳期结束。若机构强行终止，属于违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行合同或主张赔偿金（赔偿金标准为经济补偿金的2倍，即每工作满1年支付2个月工资）。

2. 例外情形：员工存在法定过错
   若员工在合同期内存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重过错（如严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等），即使处于“三期”，机构也可依法解除劳动合同且无需支付赔偿。但需注意：

   • 机构需承担举证责任，证明员工过错达到“严重”程度；
     
   • 解除程序需合法（如提前通知工会、告知解除理由等）。

3. 合同到期不续签的补偿问题
   若员工“三期”结束时合同到期，机构决定不续签的，需支付经济补偿金（标准为每工作满1年支付1个月工资）。若机构未提前30日通知终止，还需额外支付1个月工资作为代通知金（仅适用于《劳动合同法》第四十条规定的情形，但“三期”员工合同到期不续签不适用此条，此处仅为补充说明）。

实务建议：

• 对机构而言：需严格审查员工是否处于“三期”，避免违法解除；若确需终止劳动关系，应等待“三期”结束并依法支付补偿。
  
• 对员工而言：若遭遇违法终止，可先与机构协商要求继续履行合同或赔偿；协商不成可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
  

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