结论：私人诊所聘请的退休后保洁人员，即便未签订劳务合同，也不意味着可以随意辞退。是否可以辞退，需根据具体情况判断，主要看是否存在合法合理的辞退理由。

分析如下：

1. 劳务关系的认定：

   • 退休人员被私人诊所聘请从事保洁工作，双方之间形成的是劳务关系，而非劳动关系。因为退休人员已享受养老保险待遇，不再属于劳动法调整的劳动者范畴。
   • 劳务关系中，双方的权利义务主要通过口头或书面协议来约定。未签订书面劳务合同，并不影响劳务关系的实际存在，但可能使得双方在权利义务的明确上存在一定困难。

2. 辞退的合法性：

   • 在劳务关系中，辞退员工（或更准确地说，是终止劳务关系）通常需要基于合法合理的理由。这些理由可能包括保洁人员的工作表现不符合要求、违反诊所规章制度、不能胜任工作等。
   • 如果私人诊所没有合法合理的理由就辞退保洁人员，可能构成违约，需要承担相应的法律责任，如支付违约金或赔偿损失等。

3. 未签订劳务合同的后果：

   • 未签订劳务合同，虽然不影响劳务关系的成立，但可能使得双方在发生纠纷时难以证明各自的权利义务。因此，建议私人诊所在聘请退休人员时，尽量签订书面劳务合同，明确双方的权利义务。
   • 如果确实未签订劳务合同，私人诊所在辞退保洁人员时，应更加谨慎，确保有充分的证据证明辞退的合法性，以避免不必要的法律纠纷。

4. 建议措施：

   • 私人诊所应尽快与保洁人员补签劳务合同，明确工作内容、工作时间、报酬支付、辞退条件等关键条款。
   • 在辞退保洁人员前，应进行充分的沟通和协商，尽量达成一致意见，并保留好相关证据，如工作表现评价、违规记录等。
   • 如果发生纠纷，建议及时咨询专业律师，了解自身的法律权利和义务，以及可能的法律后果和解决方案。

总结：私人诊所聘请的退休后保洁人员，未签订劳务合同并不意味着可以随意辞退。辞退应基于合法合理的理由，并尽量签订书面劳务合同以明确双方权利义务。如有纠纷，建议及时咨询专业律师。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。