法院在收到第三方对履行到期债务通知书提出的异议后，通常会裁定中止对该债务的执行。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与程序概述
根据《最高人民法院关于人民法院执行工作若干问题的规定（试行）》等相关法律法规，当法院向第三方（即次债务人）发出履行到期债务通知书，要求其直接向申请执行人履行债务时，第三方有权在法定期限内提出异议。这一异议的提出，是第三方对法院执行行为的一种法律回应，旨在保护其自身的合法权益。
二、异议提出后的法院处理
形式审查与裁定中止：
- 法院在收到第三方的异议后，首先会进行形式审查，确认异议是否符合法定形式和要求。
- 若异议符合规定，法院通常会裁定中止对该债务的执行，即暂停要求第三方履行债务的行为。
异议内容的实质审查（如必要）：
- 在某些情况下，法院可能会对异议内容进行实质审查，以判断异议是否成立。
- 然而，根据现行法律规定，只要第三方在法定期限内提出异议，且异议内容不违反法律强制性规定，法院通常无需对异议进行实质审查，即可直接裁定中止执行。
申请执行人的救济途径：
- 若申请执行人认为第三方的异议不成立，其可以通过提起代位权诉讼等方式来维护自己的权益。
- 在代位权诉讼中，申请执行人作为原告，第三方作为被告，原债务人作为第三人，法院将依法对案件进行审理并作出判决。
三、特殊情况下的处理
异议未在法定期限内提出：
- 若第三方未在法定期限内提出异议，法院有权裁定对其强制执行，即要求第三方直接向申请执行人履行债务。
异议内容违法或无效：
- 若第三方的异议内容违反法律强制性规定或无效，法院在审查后有权驳回异议，并继续执行原裁定。
四、实务建议
- 对于第三方：在收到法院的履行到期债务通知书后，应认真审查通知书内容，并在法定期限内提出异议（如有）。异议应明确、具体，并附上相关证据材料以支持其主张。
- 对于申请执行人：应密切关注第三方的异议情况，并在必要时及时提起代位权诉讼等法律程序以维护自己的权益。同时，也应尊重法院的裁定结果，并配合法院的执行工作。