结论：员工请假期间，公司能否辞退员工并非绝对，需根据具体情况、相关法律法规及公司规章制度综合判断。以下从多个角度为你详细分析：

一、一般情况下公司不能辞退的情形

1. 请事假：员工因个人原因需要请假处理，只要履行了公司规定的请假手续，且请假事由合理、时长在公司允许范围内，公司应当批准，不得以此为由辞退员工。例如，员工因家庭紧急事务请假，按照公司流程提交了书面请假申请，并附上了相关证明（如医院诊断证明、亲属住院通知等），公司若批准后，就不能再以该次请假为由辞退员工。
2. 请病假：员工因病或非因工负伤需停止工作医疗时，根据工作年限享有相应的医疗期。在医疗期内，公司不得辞退员工。比如，员工患有严重疾病需住院治疗，且符合医疗期规定，公司若在此期间辞退员工，就属于违法行为。
3. 法定假期：员工依法享受的年假、探亲假、婚假、产假、陪产假、丧假等，是其合法权益，公司应予以保障，不得因请假而辞退。例如，员工申请婚假，按照公司规定提交了结婚证等证明材料，公司批准后，就不能在婚假期间辞退员工。

二、公司可以辞退的特殊情形

1. 请假手续不符合规定且情节严重：若员工未按规定流程请假，如未提前申请、未提供必要证明等，且经多次催告仍不改正，公司可依据规章制度处理，情节严重的可辞退。比如，员工频繁临时请假且不提供任何证明，影响公司正常秩序，经公司多次警告后仍不改正，公司有权辞退该员工。
2. 请假时长超出范围且无合理理由：员工请假时长过长，超出公司承受范围，且无正当理由的，公司可考虑辞退。例如，员工累计请事假超过了公司规定的上限，且并非不可抗拒的原因，公司可以依法辞退。
3. 利用请假从事与公司利益相悖的活动：员工请假期间从事与公司竞争的业务或损害公司利益的活动，公司一旦发现，有权辞退。比如，员工请假期间到竞争对手公司兼职，泄露公司商业机密，公司可以立即辞退该员工。
4. 严重违反规章制度：无论员工是否请假，只要存在严重违反用人单位规章制度等法定情形，公司均可依法辞退。例如，员工在请假期间，通过不正当手段获取公司机密信息，严重违反了公司的保密制度，公司可以依据规章制度辞退该员工。

三、辞退的经济补偿

1. 合法辞退：若员工存在严重过错，如严重违反规章制度，公司辞退员工无需支付经济补偿。比如，员工因违反公司请假制度，被公司合法辞退，公司无需支付经济补偿。
2. 违法辞退：若公司违反法律规定解除或终止劳动合同，需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金计算依据员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资。例如，员工在公司工作了3年，月工资为5000元，公司违法辞退员工，需支付的赔偿金为：\(5000元\\times3年\\times2 = 30000元\)。

四、员工的维权途径

公司以请假为由违法辞退员工时，员工可通过以下途径维护合法权益：

1. 向劳动监察部门投诉：员工可以向当地劳动监察部门反映公司违法辞退的情况，劳动监察部门会依法进行调查处理。
2. 申请劳动仲裁：员工可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，要求公司支付经济赔偿金等。在仲裁过程中，员工需要提供相关证据，如请假记录、辞退通知、沟通记录等，以证明公司的违法行为。

建议：员工在请假时，一定要按照公司规定的流程和要求进行申请，保留好相关证据，如请假条、沟通记录等。如果公司以请假为由辞退员工，员工要先判断公司的辞退行为是否合法，收集好相关证据，通过与公司协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式维护自己的合法权益。如果你还有其他关于劳动工伤方面的问题，欢迎随时向我咨询。