结论：试用期一个月后公司没有签劳动合同，是违法的。用人单位应当在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同，且试用期应包含在劳动合同期限内。

详细分析：

1. 法律义务：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。这一规定同样适用于试用期，因为试用期是劳动关系的一个组成部分。用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。

2. 试用期与劳动合同的关系：

   • 试用期不是独立于劳动合同之外的期限，而是劳动合同期限的一部分。如果劳动合同仅约定试用期，那么该试用期不成立，整个约定期限应视为劳动合同期限。因此，用人单位不能与劳动者仅签订试用期合同，而必须签订包含试用期的正式劳动合同。

3. 未签劳动合同的法律责任：

   • 如果用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，应当向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这意味着，如果用人单位在试用期内未签订劳动合同，并且超过了一个月的时间，就需要承担支付双倍工资的法律责任，最多可获得11个月的双倍工资赔偿。

4. 劳动者的维权措施：

   • 如果用人单位在试用期内未与劳动者签订劳动合同，劳动者可以采取以下措施维护自身权益：
     • 要求补签：首先，可以要求用人单位补签书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
     • 主张赔偿：如果用人单位拒绝或未在规定时间内补签，劳动者可以主张双倍工资的赔偿。
     • 申请仲裁或诉讼：如果与用人单位协商不成，劳动者可以向劳动争议仲裁机构申请仲裁，对仲裁结果不满意的，还可以向人民法院提起诉讼。

举例说明： 假设小张在某公司开始试用期工作，试用期为一个月。然而，试用期结束后，公司并未与小张签订书面劳动合同。此时，小张有权要求公司补签劳动合同，并如果公司拒绝或拖延，小张可以向劳动争议仲裁机构申请仲裁，主张公司支付双倍工资作为赔偿。

建议：

• 作为劳动者，在入职时应主动要求与用人单位签订书面劳动合同，并明确试用期等关键条款。
• 如果用人单位在试用期内未签订劳动合同，劳动者应及时收集相关证据（如工作证、考勤记录、工资支付记录等），以便在发生劳动争议时能够证明自己的劳动关系和用工情况。
• 劳动者在遇到此类情况时，应依法采取相应措施维护自身权益，如有需要，可以直接向我咨询相关法律问题。