欠付农民工工资在特定情况下确实可能构成刑事犯罪，主要涉及的是拒不支付劳动报酬罪。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律规定与刑事责任
根据《中华人民共和国刑法》第二百七十六条之一的规定，以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬，或者有能力支付而不支付劳动者的劳动报酬，数额较大，且经政府有关部门责令支付仍不支付的，将面临刑事处罚。具体来说，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；若造成严重后果，如引发群体性事件、致使劳动者生活陷入困境等，则处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
二、构成刑事犯罪的条件
行为主体：一般为用人单位或个人，包括具备用工主体资格的单位和个人，以及虽不具备用工主体资格但违法用工的主体，如包工头。
主观方面：表现为故意，即明知应支付劳动报酬而拒不支付。
客观方面：
结果要件：经政府有关部门责令支付仍不支付。这是构成本罪的必要条件，也是区分行政违法与刑事犯罪的重要界限。
三、实际案例与司法实践
在实际案例中，如果用人单位或个人拖欠农民工工资，且符合上述构成要件的，就可能被追究刑事责任。例如，某建筑公司拖欠多名农民工工资共计数十万元，经劳动监察部门多次催告后仍拒不支付，最终被法院以拒不支付劳动报酬罪判处有期徒刑并处罚金。
四、其他相关犯罪
除了拒不支付劳动报酬罪外，拖欠农民工工资还可能涉及其他犯罪，如诈骗罪或合同诈骗罪。如果行为人虚构事实、隐瞒真相，骗取农民工提供劳务后拒不支付报酬，且数额较大，可能构成诈骗罪。在签订、履行合同过程中，骗取对方当事人财物，数额较大的，也可能构成合同诈骗罪。
五、法律建议
对于用人单位或个人：应严格遵守法律法规，按时足额支付农民工工资。若因特殊原因无法按时支付，应及时与农民工沟通并说明情况，同时积极寻求解决方案，如与农民工协商延期支付或寻求政府部门的帮助。
对于农民工：若遭遇欠薪问题，应首先尝试与用人单位或个人协商解决。若协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。若问题仍未得到解决，且符合刑事犯罪构成要件的，可以向公安机关报案，依法追究用人单位或个人的刑事责任。
综上所述，欠付农民工工资在特定情况下确实可能构成刑事犯罪。因此，用人单位或个人应严格遵守法律法规，按时足额支付工资；农民工在遭遇欠薪问题时也应积极维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。