结论前置：购车付了全款但没签合同，能否退钱需根据具体情况判断，主要考虑商家是否违约、双方是否有约定、车辆是否存在质量问题以及协商结果等因素。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与合同效力
- 口头合同的有效性：根据《中华人民共和国民法典》的规定，即使双方没有签订书面合同，但已经达成口头协议并支付了全款，该口头合同同样具有法律效力。因此，双方应遵循合同约定履行各自义务。不过，由于缺乏书面证据，一旦发生纠纷，口头合同的证明难度会相对较大。
二、退款情形分析
商家违约：
- 如果商家无法提供约定的车辆配置、颜色、车型等，或在交易过程中存在欺诈行为（如隐瞒车辆真实状况、提供虚假信息等），消费者有权要求退款，并可主张商家承担违约责任。此时，商家应当承担退款责任，无论是否有书面合同。
双方有约定：
- 即使未签订书面合同，但如果双方在交易沟通中对退款事宜有明确约定（如特定条件下可退款），且该条件已满足，消费者有权依据约定要求退款。例如，双方约定如果消费者在一定期限内改变主意，可以无条件退款。
车辆存在质量问题：
- 如果车辆在交付前被发现存在严重质量问题，且无法通过维修或更换解决，消费者也有权要求退款。例如，车辆发动机存在故障，无法正常启动，这种情况下消费者可以要求销售方全额退款。
商家同意退款：
- 若商家出于自身经营考虑，如维护品牌形象或客户关系，自愿同意消费者退款的要求，那么可以顺利退款。但消费者可能需承担一定的违约责任或赔偿商家的损失（如有）。例如，消费者已选定车辆并支付了全款，但因个人原因改变主意，商家同意退款但要求扣除一定比例的手续费。
无约定且消费者自身原因：
- 如果没有任何关于退款的约定，且消费者单方面因自身原因（如临时改变主意）要求退款，商家从法律角度并无必须退款的义务。但在实际操作中，部分商家可能会扣除合理费用后退还部分款项，以维护客户关系或避免纠纷。
三、建议与注意事项
与商家沟通：
- 消费者应首先与商家进行充分沟通，说明退款原因和诉求，争取达成一致意见。在沟通过程中，保持冷静和理性，避免情绪化表达，以便更有效地解决问题。
保留证据：
- 在整个购车交易过程中，消费者应收集和保留所有与交易相关的证据，如聊天记录、付款凭证、销售人员的承诺等。这些证据在后续可能的纠纷解决中起到关键作用。例如，聊天记录中可以显示销售方对车辆的某些承诺，若未兑现，可作为维权依据。
寻求第三方协助：
- 如果与商家无法达成一致意见，或商家拒绝退款，消费者可以考虑向当地的消费者协会、汽车行业协会等相关机构申请调解。这些机构具有专业的调解人员和丰富的经验，能够帮助双方进行沟通协商，促成问题的解决。
考虑法律途径：
- 如果调解也无法解决问题，消费者可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。可以向人民法院提起诉讼，要求销售方承担相应的法律责任。在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据和相关法律规定进行审理和判决。需要注意的是，走法律途径可能需要花费一定的时间和精力，并且需要支付相应的诉讼费用。
综上所述，购车付了全款但没签合同能否退钱，需综合考虑多种因素。消费者应了解相关法律法规，保留好证据，并与商家积极沟通，以争取最有利的结果。如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。