针对您提出的“劳动仲裁公司辞退员工不出辞退书和赔偿金申请书怎么写”的问题，以下是一份详尽的撰写指南及示例，帮助您更好地维护自己的合法权益：

一、撰写前的准备

在撰写劳动仲裁申请书之前，您需要收集并整理好相关证据材料，包括但不限于：

• 劳动合同：证明您与用人单位之间存在劳动关系。
• 工资条或银行流水：证明您的工资收入情况。
• 工作证、考勤记录等：证明您的工作情况及出勤记录。
• 其他相关证据：如聊天记录、邮件往来、证人证言等，证明公司违法辞退的事实及未支付赔偿金的情况。

二、劳动仲裁申请书的撰写要点

1. 标题：明确标注“劳动仲裁申请书”。

2. 申请人信息：

   • 姓名、性别、年龄、身份证号码、住址、联系电话。
   • 工作单位（若已离职，则注明原工作单位）、职务。

3. 被申请人信息：

   • 单位名称、法定代表人或主要负责人姓名、单位地址、联系电话。
   • 统一社会信用代码（如有）。

4. 仲裁请求：

   • 支付违法解除劳动合同的赔偿金：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条、第八十七条的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。具体计算公式为：月平均工资×工作年限×2。
   • 支付未结清的工资：如有未结清的工资，应明确请求支付的具体时间段及金额。
   • 补缴社会保险：如公司未依法为您缴纳社会保险，可请求裁决公司为您补缴。

5. 事实和理由：

   • 入职及工作情况：简述入职时间、工作岗位、合同期限及工作表现。
   • 辞退事实及经过：详细说明辞退时间、辞退原因及用人单位的违法行为。强调公司未出具辞退书且未支付赔偿金的事实。
   • 法律依据：引用《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，说明用人单位行为的违法性。

6. 证据材料：

   • 列出支持仲裁请求的所有证据，包括证据名称、证明内容及证据来源。

7. 结尾：

   • 写明劳动仲裁委员会的名称。
   • 申请人亲笔签名并注明申请日期。

三、示例内容

---

劳动仲裁申请书

申请人：[姓名]，[性别]，[出生日期]生，身份证号：[身份证号码]，住址：[详细住址]，联系电话：[电话号码]。

被申请人：[公司名称]，住所：[公司地址]，统一社会信用代码：[代码]。 法定代表人：[法定代表人姓名]，职务：[职务]，联系电话：[电话号码]。

仲裁请求

1. 请求裁决被申请人支付违法解除劳动合同的赔偿金[X]元（计算方式：月平均工资[X]元×工作年限[X]年×2）。
2. 请求裁决被申请人支付未结清的工资[X]元（具体时间段：[起始日期]至[终止日期]）。
3. 请求裁决被申请人为申请人补缴[具体时间段]的社会保险。

事实和理由

本人于[入职年月日]起在被申请人处担任[职位名称]一职，双方签订了劳动合同，合同期限至[合同终止日期]。在工作期间，本人严格遵守公司规章制度，认真履行工作职责。

然而，被申请人于[辞退日期]以[辞退理由]为由，单方面解除了与本人的劳动合同，且未出具书面辞退通知，也未支付任何经济补偿金或赔偿金。此行为违反了《中华人民共和国劳动法》及《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，严重侵害了本人的合法权益。

为支持上述请求，本人提供了以下证据材料：

1. 劳动合同复印件，证明双方存在劳动关系。
2. 工资条及银行流水记录，证明工资收入情况及被申请人拖欠工资的事实。
3. 工作证、考勤记录等，证明工作情况及出勤记录。
4. 其他相关证据（如聊天记录、邮件往来等），进一步证明被申请人的违法行为。

综上所述，本人恳请贵仲裁委员会依法裁决，支持本人的全部仲裁请求，维护劳动者的合法权益。

证据和证据来源：以上证据均由申请人持有，并可随时提供原件以供核实。

此致

[具体名称]劳动人事争议仲裁委员会

申请人（签名）：[姓名]

[申请日期]

---

在撰写和提交劳动仲裁申请书时，请务必确保所有信息的准确性和完整性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。