结论前置：
- 一般情况下，拖欠农民工工资不会直接导致公安机关抓人，因为这属于劳动纠纷，是民事争议范畴。
- 但若用人单位或雇主的行为构成拒不支付劳动报酬罪，公安机关则可依法采取强制措施。
详细分析：
一般情况下的处理方式
拖欠农民工工资，首先应当明确的是，这通常属于劳动纠纷，是用人单位与劳动者之间因工资支付问题产生的民事争议。在这种情况下，公安机关通常不会直接介入抓人。农民工可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
- 协商：尝试与用人单位进行友好协商，要求支付拖欠的工资。这是最直接、也是最快捷的解决方式。
- 劳动监察投诉：若协商无果，农民工可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位进行调查，并责令其支付工资。这是行政手段的一种，旨在通过政府部门的介入来解决问题。
- 劳动仲裁与诉讼：如果劳动监察未能解决问题，农民工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不满的，还可以向人民法院提起诉讼。这是通过法律途径来维护自身权益的方式，虽然过程可能相对较长，但具有法律效力。
特殊情况下可能涉及刑事责任
然而，并非所有拖欠工资的行为都仅限于民事争议。如果用人单位或雇主的行为符合以下条件，则可能构成拒不支付劳动报酬罪，此时公安机关将依法介入：
- 逃避支付：用人单位或雇主以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬。这种行为表明其有故意拖欠工资的意图。
- 有能力而不支付：用人单位或雇主有足够的资金或资产来支付工资，但却故意不支付。这显示了其恶意拖欠工资的行为。
- 数额较大：具体数额标准因地区而异，但一般来说，拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上的，或拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上的，可能被认定为数额较大。这是构成犯罪的重要条件之一。
- 政府责令支付仍不支付：经劳动行政部门等政府有关部门责令支付后，用人单位或雇主仍拒不支付。这表明其无视政府部门的权威，继续拖欠工资。
当用人单位或雇主的行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪时，劳动行政部门会将案件移送公安机关。公安机关会按照刑事案件的程序进行侦查，对犯罪嫌疑人采取拘留等强制措施。案件随后进入审查起诉和审判阶段。若罪名成立，根据《刑法》规定，犯罪嫌疑人将面临三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金的刑罚；造成严重后果的，将处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
总结与建议：
在解决农民工工资欠款问题时，应首先尝试通过协商、劳动监察投诉、劳动仲裁与诉讼等合法途径维权。这些途径通常能够更快速、更有效地解决问题。若用人单位或雇主的行为涉嫌刑事犯罪，则应依法追究其刑事责任，确保公正、公平地维护农民工的合法权益。
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