老人去世后，其子女在取出银行存款时，确实需要遵循一定的法律程序和银行规定。以下是根据您提供的信息，整理出的详细解答：

一、知晓存款密码且金额未超过银行限额的情况

如果子女知道老人银行存款的密码，并且存款金额未超过银行规定的免公证小额取款限额（这个限额因银行而异，通常在1万至5万元之间），那么子女可以直接凭老人的银行卡（或存折）和自己的有效身份证件，到银行柜台或通过ATM机、网上银行等方式办理取款业务。但请注意，这种取款在法律上属于代为支取，所取款项仍属于老人的遗产。

二、不知晓存款密码或金额超过银行限额的情况

1. 开具证明：

   • 首先，子女需要到当地公安机关开具老人的死亡证明，以证实老人已经去世。
   • 接着，准备户口本、身份证等证明材料，以证明自己与逝者的亲属关系及继承权。

2. 办理继承权公证：

   • 所有继承人需共同到公证处办理遗产继承公证。在办理过程中，需要提供死亡证明、亲属关系证明（如户口本）、所有继承人的身份证明等材料。
   • 公证处会出具公证书，确认各继承人的继承份额。如果存在放弃继承的情况，需要出具书面声明。

3. 银行取款：

   • 携带身份证、死亡证明、继承权公证书及老人的银行卡（或存折）等材料，到银行柜台办理取款或过户手续。
   • 银行在审核材料无误后，会将存款支付给继承人。

三、特殊情况的处理

1. 遗嘱指定继承人：

   • 如果老人留有合法有效的遗嘱，并指定了特定的继承人或受遗赠人，那么银行在确认遗嘱的真实性和有效性后，将按照遗嘱内容支付款项。

2. 存在继承争议：

   • 如果继承人之间对存款继承存在争议，无法协商一致，那么需要通过诉讼途径解决。法院将审理继承纠纷并作出判决，继承人可根据生效判决书到银行支取存款。

四、注意事项与建议

1. 地区差异：

   • 不同地区的银行和公证处可能有不同的要求和流程，建议在实际操作前先咨询当地相关机构或专业人士，了解具体操作步骤和要求。

2. 遗嘱优先：

   • 在处理遗产时，应尊重遗嘱的优先性。如果老人留有遗嘱，应按照遗嘱执行。

3. 税务问题：

   • 继承遗产时可能涉及税务问题，继承人需要了解并遵守相关税法规定。

4. 小额存款提取简化：

   • 根据相关规定，如果亡者存款金额不超过一定限额（如5万元，含丧葬费和抚恤金），不需要办理遗产公证，继承人可直接携带相关材料到银行提取。

5. 及时办理：

   • 为避免不必要的麻烦和损失，建议在老人去世后尽快按照上述程序办理存款支取事宜。

综上所述，子女在老人去世后取出其银行存款时，需根据具体情况采取不同的方法和步骤。无论何种情况，都应遵循法律规定和道德准则，确保遗产的公正、合理处理。