核心结论：住院病人离院未请假死亡的责任认定及处理需根据具体情况分析，主要涉及医院管理责任、病人自身责任及可能的第三方责任，具体如下：

1. 医院管理责任分析
   根据《民法典》第1218条及《医疗机构管理条例》相关规定，医院对住院病人负有安全保障义务，包括对病人离院的合理管控。若医院未履行以下义务，可能承担部分责任：

   • 未尽告知义务：如未明确告知病人或家属离院风险（如病情恶化、治疗中断等），或未在病历中记录告知内容；
     
   • 管理疏漏：如未对病人离院行为进行及时劝阻、未联系家属确认、未按规定上报等；
     
   • 因果关系：需证明病人死亡与医院管理疏漏存在直接因果关系（如病人因离院错过抢救时机）。
     若医院已尽到合理管理义务（如口头劝阻、书面告知风险等），则一般不承担责任。

2. 病人自身责任分析
   病人作为完全民事行为能力人（或监护人代为决策），应对自身行为后果负责：

   • 自主离院风险：若病人明知病情需住院治疗仍擅自离院，其死亡结果通常由自身承担主要责任；
     
   • 家属监护责任：若病人为限制民事行为能力人（如老年人、精神障碍患者），家属未履行监护职责导致病人离院死亡，家属可能承担相应责任。

3. 第三方责任可能性
   若病人离院后因第三方过错死亡（如交通事故、他人故意伤害等），则由侵权方承担主要责任，医院责任需根据其管理疏漏程度酌情判定。

4. 处理建议

   • 家属行动：
     
     1. 立即封存病历资料（包括护理记录、医嘱单等），固定证据；
        
     2. 申请医疗事故技术鉴定或司法鉴定，明确医院是否存在过错；
        
     3. 通过协商、调解或诉讼途径主张权利（需在1年诉讼时效内提起）。
        
   • 医院行动：
     
     1. 配合调查，提供监控录像、巡房记录等证据；
        
     2. 若存在过错，可与家属协商赔偿；
        
     3. 完善管理制度（如加强离院审批、签署风险告知书等）。

注：具体责任比例需结合案件细节（如病人病情、离院时间、医院管理措施等）综合判定，建议家属携带完整病历资料进一步咨询。