在工程欠款纠纷中，业主要在欠付的工程款范围内承担的是补充责任还是连带责任，这并非一个绝对的问题，而是需要根据具体情况来分析的。以下是我从不同角度为你详细分析的情况：
一般情况下，业主承担补充责任
- 在正常的工程承发包关系中，如果业主已经按照与总承包方签订的合同约定，按时、足额支付了工程款，那么业主通常不就总承包方对分包方、材料供应商等的欠款承担连带责任。此时，若发生工程欠款纠纷，施工单位应向发包人（即与其签订建设工程施工合同的主体）追讨欠款，并依法行使优先受偿权。而业主的责任主要限于其已支付的工程款范围内，若其已足额支付，则无需再承担额外责任，这可以视为一种“补充责任”的情境，即业主的责任是在其未支付或未足额支付工程款的范围内进行补充。
特殊情况下，业主可能承担连带责任
- 未足额支付工程款：如果业主没有按照合同约定向总承包方支付全部工程款，存在拖欠情况，那么在拖欠工程款的范围内，业主可能需要对实际施工人（如合法分包的分包商、实际参与工程建设的农民工等）承担连带责任。这是为了保护实际付出劳动和成本的主体的权益，防止因业主拖欠工程款而导致实际施工人遭受损失。
- 存在违法发包、转包、分包情形：若业主将工程发包给不具有相应资质条件的单位或者个人，或者知道、应当知道总承包方存在违法转包、分包行为，并且该承包方或分包商出现工程欠款问题，业主也可能需要承担连带责任。这是因为业主的违法行为或过失行为导致了工程欠款问题的发生，因此业主应当承担相应的法律责任。
- 业主与施工方有特别约定：如果业主与总承包方、分包方或者实际施工人等在相关合同或协议中有关于业主对工程欠款承担连带责任的特别约定，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么业主就应当按照约定承担连带责任。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国民法典》第八百零七条的规定，发包人未按照约定支付价款的，承包人可以催告发包人在合理期限内支付价款。发包人逾期不支付的，承包人可以与发包人协议将该工程折价，也可以请求人民法院将该工程依法拍卖，建设工程的价款就该工程折价或者拍卖的价款优先受偿。这一条款为承包人提供了法律保障，但并未直接规定业主在欠付工程款范围内的具体责任形式。
- 在实际操作中，建议业主在签订工程合同时，明确约定工程款的支付方式、时间节点以及违约责任等条款，以避免纠纷的发生。同时，业主应加强对工程质量和进度的监管，确保工程按合同约定进行，并及时组织验收，避免因质量问题或进度延误而引发工程款支付纠纷。
- 对于施工单位而言，应依法向发包人追讨欠款，并充分利用法律手段维护自身权益，如行使优先受偿权等。在追讨欠款过程中，施工单位应注意收集并保留相关证据材料，如施工图纸、变更通知、验收报告、付款凭证等，以便在发生纠纷时提供有力的证据支持。
综上所述，业主要在欠付的工程款范围内承担的是补充责任还是连带责任，取决于具体情况和合同约定。如果你在实际操作中遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供详细的法律建议。