农民工前往区政府讨薪时，区政府通常会根据以下流程处理，核心结论如下：

1. 区政府设立专门窗口接待并引导维权
   区政府一般会设立劳动监察或信访接待窗口，工作人员会首先核实农民工的身份及欠薪事实（如劳动合同、工资条、考勤记录等）。若材料齐全，会当场登记并转交至劳动监察大队或人社局处理；若材料缺失，会指导补充证据（如用工单位信息、欠薪金额计算依据等）。
   法律依据：根据《劳动保障监察条例》第10条，县级以上地方政府劳动行政部门负责劳动保障监察工作，区政府有义务协调相关部门介入。

2. 协调劳动监察部门立案调查
   劳动监察大队会在5个工作日内决定是否立案，并通知用工单位接受调查。若用工单位存在拖欠工资、未签劳动合同等违法行为，监察部门可责令限期支付；逾期不支付的，可申请法院强制执行，并处以欠薪金额50%-100%的赔偿金。
   关键点：农民工需保留好证据原件（如工资条需有单位盖章或负责人签字），避免因证据不足导致维权受阻。

3. 引导通过法律途径解决（如仲裁或诉讼）
   若欠薪争议复杂（如涉及工程款纠纷、包工头跑路等），区政府会建议农民工向劳动仲裁委员会申请仲裁（时效1年），或直接向法院起诉。此时，区政府可能提供法律援助中心联系方式，协助申请免费律师或减免诉讼费。
   提醒：仲裁或诉讼需提交书面申请书及证据材料，建议提前咨询法律专业人士整理材料。

4. 特殊情况处理：包工头欠薪或工程款纠纷
   若欠薪因包工头卷款跑路或总包单位未支付工程款导致，区政府会协调住建部门介入，要求总包单位先行垫付农民工工资（根据《保障农民工工资支付条例》第30条）。若总包单位拒不垫付，区政府可将其列入拖欠农民工工资“黑名单”，实施联合惩戒（如限制招投标、降低资质等级等）。

给农民工的行动建议：

• 前往区政府前，尽量收集齐欠薪证据（如工资条、考勤记录、工友证言等）；
  
• 若涉及多人欠薪，可推选2-3名代表与区政府沟通，提高效率；
  
• 若区政府协调无果，可拨打12333（劳动保障热线）或12345（市民服务热线）投诉，或直接向我咨询后续法律程序。
  

如有具体欠薪情况（如金额、用工单位类型等），可进一步向我说明，我会结合细节提供更精准的维权方案。