结论：公司不停变更名称，并不影响您与公司之间无固定期限劳动合同的效力。只要您与公司之间的劳动关系持续存在，且满足签订无固定期限劳动合同的条件，您就有权要求公司签订或继续履行无固定期限劳动合同。
详细分析：
无固定期限劳动合同的定义与条件：
- 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，或者连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
公司变更名称对劳动合同的影响：
- 公司变更名称，属于公司登记事项的变更，并不影响公司作为用人单位的法律地位和劳动合同的效力。
- 劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。只要劳动合同的内容（如工作岗位、工作地点、劳动报酬等）没有发生实质性变更，且双方继续履行劳动合同，那么劳动合同就仍然有效。
公司不停变更名称与无固定期限劳动合同的关系：
- 无论公司如何变更名称，只要您与公司之间的劳动关系持续存在，且您满足签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年或连续订立二次固定期限劳动合同等），您就有权要求公司签订或继续履行无固定期限劳动合同。
- 如果公司以变更名称为由拒绝签订或继续履行无固定期限劳动合同，这可能构成违法解除劳动合同，您有权依法维护自己的合法权益。
法律建议：
- 如果您目前已经满足签订无固定期限劳动合同的条件，且公司拒绝签订或继续履行，您可以先与公司进行协商，要求公司依法签订或继续履行无固定期限劳动合同。
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担违法解除劳动合同的法律责任，并支付相应的经济补偿或赔偿金。
- 在整个过程中，建议您保留好与公司的劳动合同、工作证明、工资单等相关证据，以便在需要时提供证明。
可能法律后果：
- 如果公司违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司可能需要支付您经济补偿标准的二倍作为赔偿金。
- 同时，您还有权要求公司继续履行劳动合同或者支付因违法解除劳动合同而造成的损失。
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