结论是：公司名称的变更，原则上不会影响您续签无固定期限劳动合同的权利。下面我从几个角度详细分析这个问题：

一、公司名称变更的法律性质

公司名称的变更，属于公司登记事项的变化，根据《公司法》及相关规定，公司需要办理变更登记手续。但这种变更，并不改变公司的法律主体资格，也就是说，变更前后的公司，在法律上是同一个主体。因此，从法律主体资格的角度来看，公司名称的变更，不会影响您与公司之间劳动合同的效力。

二、无固定期限劳动合同的签订条件

根据《劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，经劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一规定，是基于劳动者在公司的工作年限和劳动合同的签订情况来确定的，与公司名称无关。

三、公司名称变更对续签无固定期限劳动合同的影响

1. 如果公司名称变更后，您与公司的劳动关系继续存在：

   • 在这种情况下，由于公司名称的变更并不改变公司的法律主体资格，因此，您与公司之间的劳动合同关系仍然有效。
   • 如果您已经连续订立了两次固定期限劳动合同，并且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，那么在续签合同时，您有权要求签订无固定期限劳动合同。

2. 如果公司名称变更后，公司试图以新名称重新与您签订劳动合同：

   • 这种情况下，公司可能试图通过变更名称来规避签订无固定期限劳动合同的责任。但如前所述，公司名称的变更并不改变公司的法律主体资格，因此，这种做法在法律上是不被认可的。
   • 如果公司坚持这样做，您有权拒绝，并可以要求公司继续履行原劳动合同，或者向劳动监察部门投诉，甚至申请劳动仲裁来维护自己的权益。

四、建议与注意事项

1. 在续签合同时，明确要求签订无固定期限劳动合同：如果您的条件符合签订无固定期限劳动合同的要求，那么在续签合同时，一定要明确提出这个要求。

2. 保留好相关证据：包括但不限于劳动合同、工资单、工作证等能够证明您与公司之间存在劳动关系的证据。这些证据在维护您的权益时可能会起到关键作用。

3. 及时咨询专业律师：如果您在续签合同过程中遇到任何问题或困惑，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。

综上所述，公司名称的变更，原则上不会影响您续签无固定期限劳动合同的权利。如果您在续签合同过程中遇到任何问题，可以直接向我咨询。