您好，关于您提出的“老人留遗嘱要神智清醒吗”以及“神智不清要医院的证明吗”这两个问题，我将结合相关法律知识和实际操作建议，为您进行详细解答。
首先，老人留遗嘱确实需要神智清醒。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱必须表示遗嘱人的真实意思，且无民事行为能力人或者限制民事行为能力人所立的遗嘱是无效的。这意味着，老人在立遗嘱时，必须具备完全的民事行为能力，即神智清醒，能够清晰地表达自己的意愿，理解遗嘱的内容和后果。
为了证明老人在立遗嘱时神智清醒，通常建议在遗嘱中明确写明这一点，例如：“本人神志清醒，现自愿签署本遗嘱……”。这样的表述可以作为遗嘱有效性的一个重要依据。
接下来，关于“神智不清要医院的证明吗”这一问题，虽然法律没有明确规定必须提供医院的证明，但在实际操作中，如果老人已经出现走失、健忘等可能影响其民事行为能力的情况，建议到专业的鉴定机构进行鉴定。这样的鉴定报告可以作为证明老人神智清醒或不清醒的重要证据。鉴定日期建议距离书写自书遗嘱7日内进行，以确保鉴定结果与立遗嘱时的状态相符。
此外，我还想提醒您几点：
遗嘱的书写：自书遗嘱应由遗嘱人亲笔书写，签名，并注明年、月、日。这是遗嘱有效性的基本要求。
遗嘱的保管：立遗嘱后，要妥善保管遗嘱和相关的鉴定报告（如果有的话），避免损毁或丢失。
法律咨询：如果对遗嘱的书写或法律效力有疑问，建议咨询专业的法律人士或公证机构，以确保遗嘱的合法性和有效性。
综上所述，老人在留遗嘱时确实需要神智清醒，并且为了证明这一点，可以在遗嘱中明确表述或提供专业的鉴定报告。希望这些解答能够帮助到您，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。