结论前置：在自书遗嘱被质疑意志不清醒的情况下，一般由质疑人承担举证责任，即质疑人需要提供证据证明遗嘱人在立遗嘱时意志不清醒。

详细分析：

在遗嘱继承纠纷中，如果自书遗嘱的真实性、合法性受到质疑，特别是质疑遗嘱人在立遗嘱时的精神状态，那么根据“谁主张，谁举证”的民事诉讼原则，质疑人应当承担举证责任。这意味着质疑人需要搜集并提交相关证据，以证明遗嘱人在立遗嘱时确实存在意志不清醒的情况。

证据可能包括但不限于：

1. 医疗记录或诊断证明：如果遗嘱人在立遗嘱前后有就医记录，特别是关于精神状态或认知能力的诊断，这些记录可以作为重要证据。
2. 证人证言：与遗嘱人关系密切的亲友、邻居或医护人员等，如果他们在遗嘱人立遗嘱时或前后观察到遗嘱人精神状态异常，他们的证言也可以作为证据。
3. 其他相关证据：如遗嘱人立遗嘱时的视频资料、遗嘱内容的不合理性或矛盾之处等，也可能作为辅助证据。

如果质疑人无法提供充分证据支持其主张，那么根据法律规定，遗嘱将被视为有效。同时，被质疑方（通常是遗嘱的受益人）也可以积极搜集并提交反驳证据，以证明遗嘱人在立遗嘱时精神状态正常，遗嘱内容真实合法。

在处理此类纠纷时，法院会综合考虑双方提交的证据，以及遗嘱人的精神状态、遗嘱内容、立遗嘱过程等因素，作出公正裁决。因此，无论是质疑方还是被质疑方，都应当积极搜集并提交相关证据，以维护自己的合法权益。