如果储户发现自己的存款被银行员工私自转走，这确实是一个非常严重且令人担忧的问题。针对这种情况，以下是从多个层面给出的详细解答和建议：
一、立即采取行动
联系银行：首先，储户应立即联系银行，说明情况并要求银行对此事进行调查。银行有责任和义务保护储户的资金安全，并应积极配合储户进行调查。
报警处理：同时，储户应向当地公安机关报案，提供所有可能的线索和证据，以便警方能够迅速介入调查，并追回被转走的资金。
二、银行机构应承担的责任与措施
加强员工管理与培训：
- 银行应严格招聘流程，进行全面背景调查，确保新入职员工没有不良记录。
- 定期组织职业道德与法律培训，提高员工的法律意识和职业操守，防止类似事件再次发生。
- 实施轮岗与强制休假制度，减少员工因长期在同一岗位工作而可能产生的道德和操作风险。
完善内部控制制度：
- 优化业务流程，明确操作权限和审批流程，确保每一笔交易都经过严格审核。
- 实行双人复核或多重审核制度，避免单人操作带来的风险。
- 设立独立的内部审计部门，定期对银行各项业务进行审计，及时发现问题并整改。
增强技术防范措施：
- 升级系统安全性能，采用先进的生物特征识别技术，提高账户的安全性。
- 建立实时监控系统，对异常交易和行为进行预警和处理，确保储户资金的安全。
- 详细记录系统操作日志，便于在出现问题时进行追溯和调查。
提升客户服务与沟通：
- 提高客户的风险意识，普及金融安全知识，提醒储户保护好自己的个人信息和账户安全。
- 在账户发生大额变动时，及时与客户联系，核实交易的真实性，防止资金被非法转走。
三、监管部门应发挥的作用
加强监管力度：
- 监管部门应加大对银行的检查频率和深度，采用现场与非现场监管相结合的方式，及时发现银行存在的风险隐患。
- 对违规行为依法进行严肃处理，以儆效尤，维护金融市场的秩序和稳定。
完善监管法规：
- 根据银行业的发展变化，及时修订和完善监管法规，填补制度漏洞，为银行和储户提供更加完善的法律保障。
建立行业信息共享机制：
- 建立违规人员信息库，共享违规人员的信息，防止银行招聘到有不良记录的人员。
- 收集和分析行业数据，发布风险预警信息，帮助银行和储户及时识别和防范风险。
四、储户自身的防范建议
提高自身防范意识：
- 妥善保管好自己的个人信息和账户密码，不随意透露给任何人。
- 确保网络环境的安全，避免在公共网络环境下进行敏感操作。
- 定期查看账户信息，及时发现异常交易并立即联系银行处理。
合理选择银行服务：
- 选择信誉良好、管理规范的银行进行存款和理财。
- 在签订服务协议时，仔细阅读条款内容，明确自己的权利和义务，特别是关于账户安全和资金交易的条款。
综上所述，防止银行存款被员工私自转走需要银行机构、监管部门和储户三方面共同努力。银行应加强内部控制和技术防范措施；监管部门应加大监管力度和完善法规；储户则应提高自身防范意识并合理选择银行服务。只有这样，才能形成有效的安全防护网，确保银行存款的安全。