当行政机关对公民的请求不予答复时，公民可以通过以下途径来维护自己的合法权益：

1. 确认是否超过法定期限：

   • 首先，需要明确的是，不同类型的行政申请有不同的法定答复期限。例如，行政许可申请通常在受理之日起二十日内作出决定，特殊情况可延长十日；政府信息公开申请则应在收到申请之日起20个工作日内答复，最长延长期限不超过20个工作日。因此，在判断行政机关是否构成不答复时，公民应首先对照相关法律法规，确定是否已经超过法定的答复期限。

2. 进行沟通催问：

   • 在尚未确定超过法定期限或刚刚超过法定期限时，建议公民以书面或电话等方式与行政机关进行沟通，礼貌地询问申请事项的进展情况，并提醒其尽快处理。书面沟通时，最好采用挂号信或特快专递等方式，并保留好寄送凭证作为后续证据。这一步骤有助于明确行政机关的态度，也可能促使行政机关加快处理速度。

3. 寻求行政系统内部监督解决：

   • 向上级机关反映：若行政机关未答复，公民可以向该行政机关的上一级行政机关反映情况，提交申请书及相关证明材料，请求上级机关责令其限期作出答复。这是一种有效的内部监督机制，能够促使行政机关重视并处理公民的请求。
   • 向行政监察机关投诉：各级监察委员会负责对公职人员进行监察。公民可以向监察机关投诉行政机关不履行法定职责（包括不答复申请），监察机关将依法进行调查处理。这为公民提供了一种独立的监督途径，有助于维护行政机关的公正性和效率。

4. 法律救济途径：

   • 行政复议：根据《中华人民共和国行政复议法》，如果行政机关的不答复行为侵犯了公民的合法权益，公民可以在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请（法律规定的申请期限超过六十日的除外）。复议申请书应说明复议请求、事实和理由，并附上相关证据。复议机关经审理认为行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其在一定期限内作出答复。需要注意的是，对于某些未履行法定职责的案件，行政复议可能是诉讼前的必经程序。
   • 行政诉讼：如果对行政复议结果不满意或不愿意经过行政复议程序，公民可以直接向人民法院提起行政诉讼。诉讼应在知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内提出（法律另有规定的除外）。在诉讼中，公民需要提供证据证明自己提出过申请且行政机关未答复的事实。法院将根据审理情况判决行政机关履行答复职责，并可能判决行政机关承担相应赔偿责任。

5. 寻求法律援助：

   • 在申请行政复议或提起行政诉讼过程中，如遇到法律难题或需要专业法律帮助，公民可以寻求法律援助机构的帮助。法律援助机构将为符合条件的公民提供法律咨询、代理等法律服务，有助于公民更好地维护自己的合法权益。

总结与建议：面对行政机关不答复的情况，公民应首先确认是否超过法定期限，随后尝试沟通催问。若仍无结果，可通过向上级机关反映、向行政监察机关投诉、申请行政复议或提起行政诉讼等法律救济途径来维护自身权益。在整个过程中，公民应保留好相关证据，以便在需要时提供证明。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。