当事业单位工作人员因病长期不能上班时，单位的管理应遵循一系列严谨且人性化的流程，以确保员工的合法权益得到保障，同时维护单位的正常运营秩序。以下是对此问题的详细解答：
一、及时履行请假手续
口头报备：员工在发现身体不适后，应第一时间通过电话、短信或即时通讯工具向直属领导说明情况，表达歉意并明确请假意向。例如：“领导，我今早身体不适无法到岗，已前往医院就诊，特向您申请病假。”
提交书面证明：病情稳定后（通常3个工作日内），员工需补交医疗机构出具的《诊断证明书》或《病假建议书》，注明建议休息天数。部分单位还要求同步填写制式的《病假申请表》，并经科室负责人签字确认。
二、确定医疗期及待遇
医疗期确定：根据国家相关规定，员工的医疗期根据其实际工作年限和在本单位的工作年限确定，一般不低于三个月，最长可达二十四个月。单位应明确告知员工其医疗期的具体时长。
工资发放：在医疗期内，单位应支付员工病假工资或疾病救济费，具体标准按国家和单位规定执行，但不得低于当地最低工资标准的80%。这确保了员工在病假期间的基本生活需求。
社保缴纳：单位应依法继续为员工缴纳五险一金，个人部分可从病假工资中代扣。这保障了员工在病假期间的社保权益。
三、劳动合同关系保护
禁止随意解除：在医疗期内，用人单位必须严格遵守劳动合同法，不得随意解除与员工的劳动合同关系。若用人单位违反规定解除劳动合同，员工有权要求用人单位进行赔偿。
劳动能力鉴定：若员工病情严重，经劳动能力鉴定委员会鉴定确认丧失劳动能力，且符合相关条件（如工作年限满十年，男年满五十周岁、女年满四十五周岁），可办理退休手续；工作年限不满十年的，则按退职办理，享受相应的养老待遇。
四、特殊情况处理与沟通协商
突发急症处理：对于突发急症的员工，可先就医后补假，但需在就诊当日完成口头报备，并于48小时内补交急诊病历。
定期更新医疗证明：长期病假的员工需定期（如每月）更新医疗证明，超期未续假按旷工处理。返岗前须提交康复证明并完成销假登记。
沟通与协商：员工及其家属应与单位保持密切沟通，了解单位的具体规定和操作流程。对于工资发放标准、解除聘用合同等问题有异议时，应先向单位内部的人事部门反映情况，申请复核。对复核结果仍不满意的，可向当地的人事争议仲裁机构申请仲裁，或向相关的人事管理部门申诉。
五、保留相关证据
员工在维权过程中，应妥善保管好所有相关证据，包括医疗证明、劳动合同、工资条、请假记录等。这些证据在必要时将作为维护自身合法权益的重要依据。
综上所述，当事业单位工作人员因病长期不能上班时，单位应通过及时履行请假手续、确定医疗期及待遇、保护劳动合同关系、特殊情况处理与沟通协商以及保留相关证据等步骤来妥善管理。这既保障了员工的合法权益，也维护了单位的正常运营秩序。