可以起诉，但具体起诉的罪名或请求需根据实际情况来确定。以下从几个角度为你详细分析：
一、从离婚后发现对方有私生子的角度
若离婚时未分割共同财产或存在财产转移、隐匿等情况
- 离婚后，如果发现对方在婚姻关系存续期间存在与他人同居并生育私生子的情况，且离婚时未对共同财产进行分割，或者对方存在转移、隐匿共同财产的行为，你可以向法院提起诉讼，要求重新分割共同财产，并主张多分财产。因为根据《民法典》的相关规定，离婚时，一方隐藏、转移、变卖、毁损夫妻共同财产，或伪造债务企图侵占另一方财产的，分割夫妻共同财产时，对隐藏、转移、变卖、毁损夫妻共同财产或伪造债务的一方，可以少分或不分。
- 举例：假设你们离婚时，对方将一部分共同财产转移到了其私生子名下，或者用于抚养私生子，而你在离婚时并未发现。离婚后，你通过调查发现了这一情况，那么你就可以向法院提起诉讼，要求重新分割这部分财产。
若离婚时已分割共同财产，但对方存在过错导致离婚
- 如果离婚时已经对共同财产进行了分割，但对方在婚姻关系存续期间存在与他人同居并生育私生子的行为，导致你们离婚，你可以考虑以对方存在过错为由，向法院提起诉讼，要求对方给予损害赔偿。不过，这种损害赔偿通常需要在离婚诉讼中一并提出，离婚后单独提起损害赔偿诉讼的，法院可能不会支持，除非你能证明在离婚时不知道对方存在过错，且在离婚后一定期限内（如一年内）发现并提起诉讼。
- 举例：你们离婚时，你并不知道对方有私生子，离婚后偶然发现。此时，如果你能证明对方在婚姻关系存续期间存在与他人同居并生育私生子的行为，且这一行为是导致你们离婚的原因之一，那么你可以尝试向法院提起诉讼，要求对方给予损害赔偿。但需要注意的是，这种诉讼的成功率可能因具体情况而异，且需要充分的证据支持。
二、从对方可能涉嫌重婚罪的角度
- 如果对方在婚姻关系存续期间，与他人以夫妻名义共同生活并生育私生子，那么对方的行为可能构成重婚罪。你可以向公安机关报案，要求追究对方的刑事责任。同时，你也可以在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，要求对方赔偿因重婚行为给你造成的经济损失和精神损害。
- 举例：对方在婚姻关系存续期间，与另一名女性长期以夫妻名义共同生活，并生育了私生子。这种情况下，对方的行为就可能构成重婚罪。你可以收集相关证据（如对方与另一名女性的同居照片、视频、证人证言等），向公安机关报案。
三、实际操作建议
- 收集证据：无论你选择哪种方式起诉，都需要收集充分的证据来支持你的主张。证据可以包括对方与私生子的亲子鉴定报告、对方与他人同居的照片或视频、证人证言等。
- 咨询专业律师：虽然我可以为你提供一些法律上的建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在采取任何法律行动之前，我建议你咨询一位专业的婚姻家庭律师，以便更准确地了解你的权利和义务，以及可能面临的法律风险。
- 保持冷静和理性：离婚后发现对方有私生子，无疑会给你带来很大的情感冲击。但在处理这类问题时，保持冷静和理性是非常重要的。不要因为情绪激动而做出一些冲动的决定或行为，以免给自己带来不必要的麻烦和损失。
最后，我想强调的是，法律问题往往比较复杂且因人而异。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会尽我所能为你提供专业、全面、准确的法律建议。