结论：保险公司一般不会直接起诉对方，但会通过其他方式推动理赔；若涉及诉讼，通常由被保险人（您）作为原告起诉对方，保险公司可能以第三人身份参与或提供支持。

以下是具体分析：

1. 保险公司的常规处理流程
   在对方全责的交通事故中，若对方拒不理赔，保险公司通常不会直接起诉对方。其核心逻辑是：保险公司的赔付义务基于保险合同，而对方侵权责任属于另一法律关系。保险公司会优先通过以下方式处理：

   • 代位追偿：若您已向自己的保险公司申请理赔，保险公司赔付后，会取得向对方追偿的权利（即“代位求偿权”）。此时，保险公司可能以您的名义起诉对方，但实际诉讼主体仍是您，保险公司作为支持方提供证据（如事故认定书、定损单等）。
     
   • 协助您诉讼：若您选择直接起诉对方，保险公司可配合提供理赔所需材料（如维修发票、医疗记录等），但不会主动作为原告起诉。

2. 您作为被保险人的权利与行动建议

   • 直接起诉对方：若对方拒赔，您可凭《交通事故责任认定书》、损失证据（如维修发票、医疗费单据等）向法院起诉对方及其保险公司，要求赔偿。这是最直接的法律途径。
     
   • 申请代位追偿：若您已投保车损险，可向自己的保险公司申请代位追偿。保险公司赔付后，会以您的名义向对方追偿，您需配合提供证据并签署相关文件。
     
   • 投诉与调解：若对方保险公司拒赔，可向当地银保监会投诉，或通过交警部门、人民调解委员会等渠道调解。

3. 特殊情形：保险公司直接起诉的例外
   在极少数情况下（如对方涉嫌保险诈骗、恶意逃逸等），保险公司可能以“维护行业秩序”或“追偿权受损”为由直接起诉对方，但此类案例需满足严格条件，且实践中较为罕见。

总结建议：若对方全责但拒赔，您可优先选择直接起诉对方或申请代位追偿。保险公司通常不会主动起诉，但会通过代位追偿或证据支持等方式协助您维权。如有具体案件细节（如对方是否投保、损失金额等），可进一步向我咨询，我会结合证据为您制定诉讼策略。