结论：员工在厂子干活但由第三方支付工资且没有签劳动合同，这种情况是违法的，用人单位需承担相应的法律责任。
法律分析：
未签劳动合同的违法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但尚未同时订立书面劳动合同，则应在用工之日起一个月内完成劳动合同的签订。因此，无论工资由谁支付，只要存在劳动关系，用人单位就有义务与员工签订书面劳动合同。
第三方支付工资不影响劳动关系的认定：
- 工资支付方并不改变劳动关系的本质。即使工资由第三方支付，只要员工实际上是在为厂子工作，接受厂子的管理和指挥，那么员工与厂子之间就构成了劳动关系。因此，厂子作为用人单位，仍然需要承担签订劳动合同的法律责任。
用人单位应承担的法律后果：
- 支付双倍工资：依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在促使用人单位及时与员工签订劳动合同，保障员工的合法权益。
- 视为订立无固定期限劳动合同：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。这意味着用人单位不能随意解除与员工的劳动关系，为员工提供了更为稳定的就业保障。
建议与行动：
员工方面：
- 员工应主动与用人单位（即厂子）沟通，要求签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 若沟通无果，员工可以向当地的劳动监察部门投诉，或者通过劳动仲裁等法律途径来维护自己的合法权益。
- 在维权过程中，员工应保留好与工作相关的证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以便在需要时提供证明。
用人单位方面：
- 厂子应尽快与员工签订书面劳动合同，以避免法律风险和不必要的经济损失。
- 若因特殊原因无法立即签订劳动合同，厂子应与员工协商并达成一致意见，同时做好相关记录和证据留存工作。
注意事项：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，员工在发现自己的权益被侵害后，应及时在时效内向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
- 在处理此类纠纷时，建议员工和用人单位都保持冷静和理性，通过合法途径来解决问题，避免采取过激行为或违法手段。
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