结论：老奶奶生病后老头不管，是否可以起诉，需根据具体情况判断，一般可能涉及遗弃罪或违反夫妻间扶养义务的民事责任。

分析如下：

一、可能涉及遗弃罪的情况

如果老头对老奶奶负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣，那么可能构成遗弃罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。在此情况下，老奶奶或其近亲属可以向公安机关报案，由公安机关依法进行侦查，如果构成犯罪，将由检察院提起公诉。

情节恶劣的认定：通常包括由于遗弃行为导致被害人重伤、死亡；被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨；被害人因被遗弃而走投无路被迫自杀；行为人屡经教育，拒绝改正而使被害人的生活陷于危难境地；遗弃手段十分恶劣，如在遗弃中又有打骂、虐待行为的等。

二、可能涉及违反夫妻间扶养义务的情况

如果老头和老奶奶是夫妻关系，那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻有相互扶养的义务。一方不履行扶养义务时，需要扶养的一方，有要求其给付扶养费的权利。在此情况下，老奶奶可以向人民法院提起民事诉讼，要求老头履行扶养义务，支付扶养费。

扶养义务的内容：包括经济上的供养、生活上的照料以及精神上的慰藉等。如果老头有能力履行而拒不履行，那么老奶奶有权要求其承担相应的民事责任。

三、实际操作建议

1. 收集证据：无论是提起刑事诉讼还是民事诉讼，都需要有充分的证据来支持自己的主张。因此，建议老奶奶或其近亲属先收集相关证据，如医疗记录、证人证言、视频录像等，以证明老头存在遗弃或拒绝扶养的行为。
2. 咨询律师：由于法律程序复杂且专业性强，建议老奶奶或其近亲属在提起诉讼前咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。
3. 提起诉讼：在收集到充分证据并咨询律师后，可以根据具体情况选择向公安机关报案或向人民法院提起诉讼。

后续行动建议：如果老奶奶或其近亲属对法律程序不熟悉或感到困惑，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议和帮助。