结论：在您描述的情况下，由于打架没有构成轻伤，通常不会涉及刑事犯罪的指控。对方要求赔偿6000元，这主要是一个民事赔偿问题，而非刑事犯罪问题。因此，您不能直接“告他一个什么罪”，但可以从民事赔偿的角度来处理这个问题。

详细分析：

1. 刑事犯罪角度：

   • 在我国刑法中，打架斗殴如果未造成轻伤及以上后果，一般不构成犯罪。轻伤是刑事犯罪中的一个重要界限，只有达到或超过轻伤标准，才可能涉及故意伤害罪等刑事犯罪。
   • 既然没有构成轻伤，那么对方就无法以刑事犯罪为由对您提起诉讼。

2. 民事赔偿角度：

   • 尽管不构成刑事犯罪，但打架行为仍然可能造成对方的人身损害或财产损失，对方有权要求您进行民事赔偿。
   • 赔偿的金额和范围通常根据实际损失来确定，包括医疗费、误工费、护理费等。如果对方要求赔偿6000元，您需要评估这个金额是否合理，是否与实际损失相符。
   • 如果您认为赔偿金额过高或不合理，可以拒绝支付，并建议对方通过法律途径解决，如提起民事诉讼。在民事诉讼中，法院会根据双方提供的证据和法律规定来判决赔偿金额。

3. 建议处理方式：

   • 协商解决：如果可能的话，您可以与对方进行协商，尝试达成一个双方都能接受的赔偿协议。这可以节省时间和精力，避免不必要的法律纠纷。
   • 法律途径：如果协商无果，或者您认为对方的赔偿要求不合理，您可以建议对方通过法律途径解决。同时，您也可以咨询专业律师（如我），了解您的权利和义务，以及如何应对可能的法律诉讼。

额外提醒：

• 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性非常重要。避免情绪化的行为或言论，以免加剧矛盾或引发新的法律问题。
• 如果您决定通过法律途径解决纠纷，务必保留好相关证据，如医疗记录、证人证言等。这些证据将在法律诉讼中起到关键作用。

总结：打架没有构成轻伤的情况下，您不会面临刑事犯罪的指控。对方要求赔偿6000元是一个民事赔偿问题，您可以通过协商或法律途径来处理。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。