执行董事的公司是否设有董事会，取决于公司的具体组织形式、治理结构、规模以及法律法规的要求，不能一概而论地说执行董事的公司就一定没有董事会。以下从不同角度进行详细分析：

一、执行董事与董事会的定义及关系

1. 执行董事：在股东人数较少或规模较小的公司中，可不设董事会，仅设一名执行董事。执行董事既作为董事参与公司决策，又承担业务执行职能，其职权由公司章程具体规定，并可兼任公司经理。
2. 董事会：由若干名（通常三至十三人）董事组成的决策机构，负责公司的重大事项决策与管理层监督。董事会设董事长一人，并可设副董事长，领导董事会工作。

关键点：执行董事与董事会并非互斥关系。在设有董事会的公司中，执行董事可以是董事会成员之一；而在不设董事会的公司中，执行董事则承担类似董事会的部分职能。

二、不同公司类型下的治理结构

1. 有限责任公司

   • 设董事会的情况：规模较大、股东人数较多或业务较复杂的有限责任公司，通常会设立董事会，以加强对公司经营管理的监督。此时，执行董事可能是董事会成员之一，参与公司决策。
   • 不设董事会的情况：股东人数较少或者规模较小的有限责任公司，可以不设董事会，只设一名执行董事。执行董事全面负责公司日常经营管理，包括制定经营计划、发展战略等。

2. 股份有限公司

   • 必须设董事会：股份有限公司通常规模较大，股东人数众多，股权结构复杂。为了保护广大股东的利益，确保公司的运营符合法律法规和公司章程的规定，必须设立董事会对公司的经营管理进行全面监督。在股份有限公司中，执行董事通常是董事会成员之一，参与公司重大决策。

三、执行董事与董事会的实际运作

1. 执行董事的运作：执行董事通常单独行使职权，但在重要决策时可能与其他董事或高管协商。其运作方式灵活，依据公司章程而定。在不设董事会的公司中，执行董事的决策权相对较大，但需受到股东会和公司章程的约束。
2. 董事会的运作：董事会通过定期召开会议行使职权，由董事长召集和主持。会议讨论并决定公司重大事项，形成具有约束力的决议。董事会成员需按照公司章程和法律法规的规定履行职责，确保公司决策的科学性和合规性。

四、法律建议

1. 明确公司治理结构：公司应根据自身规模、股东结构、业务需求等因素，合理设置执行董事与董事会（如适用），明确各自职责与权限。这有助于确保公司治理结构的科学性和有效性，降低内部管理风险。
2. 完善公司章程：公司章程是公司治理的重要依据。在制定或修改公司章程时，应明确执行董事和董事会的职权、运作方式以及相互之间的关系。这有助于避免内部纠纷和法律风险。
3. 加强监督与制衡：无论公司是否设立董事会，都应建立有效的监督机制，确保公司决策的科学性和合规性。在不设董事会的公司中，可以通过加强股东会的作用、设立监事或监事会等方式来实现监督与制衡。

总结：执行董事的公司是否设有董事会取决于公司的具体情况。在实际操作中，公司应根据自身需求合理设置治理结构，并加强监督与制衡机制的建设。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。