可以开票，但需分情况讨论，具体如下：

1. 从发票管理法规角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。法律并未强制要求必须签订书面合同才能开票，只要存在真实的交易关系（如口头协议、订单、对账单等能证明交易存在的证据），付款方就有权要求收款方开具发票。

2. 从税务风险角度
   若未签订合同但已付款，建议双方通过补充协议、对账单、沟通记录（如邮件、微信）等方式固定交易细节（如商品/服务内容、金额、交付时间等）。税务机关核查时，若无法证明交易真实性，可能将开票行为认定为“虚开发票”，导致双方被追缴税款、滞纳金甚至罚款。

3. 从合同纠纷预防角度
   未签订合同可能引发以下风险：

   • 付款方难以证明交易内容（如服务标准、违约责任），后续维权困难；
     
   • 收款方可能因缺乏合同约束，被要求重复开票或承担额外义务。
     建议：即使已付款，也应尽快补签书面合同，明确双方权利义务，避免纠纷。

行动建议：

• 若您是付款方：要求对方开具发票时，保留付款凭证（如银行转账记录）、交易记录（如聊天记录、邮件），以证明交易真实性；
  
• 若您是收款方：开具发票前，务必确认交易内容清晰（如通过书面确认单），避免因信息模糊被认定为虚开。
  

如有进一步疑问（如具体行业开票要求、虚开发票的认定标准等），可直接向我咨询。